Nimm eine beliebige zweistellige Zahl \(x\) in einer beliebigen Basis \(b\). Eine Verschiebung um zwei Stellen entspricht einer Multiplikation mit \(b^2\). Zwei solche Zahlen aneinander reihen entspricht einmal um zwei Stellen verschieben und mit \(x\) addieren - also \(x \cdot b^2 +x\). Kommt die dritte Zahl hinzu, muss noch mal verschoben werden (\(\cdot b^2\)) und \(x\) addiert werden. Die fertige Zahl \(z\) ist demnach
$$z=(x \cdot b^2 +x)\cdot b^2 + x= x\cdot b^4 +x \cdot b^2 + x=(b^4+b^2+1)\cdot x$$
Dieser Ausdruck ist genau dann unabhängig von \(x\) durch 7 teilbar, wenn der Ausdruck \(b^4+b^2+1\) durch 7 teilbar ist. Das ist immer der Fall, wenn
$$ b^2 \equiv 2 \quad \text{oder} \quad b^2 \equiv 4 \mod 7 $$
Ist \(b^2 \equiv 2 \mod 7 \), so ist \(b^4 \equiv 4 \mod 7 \). Ist \(b^2 \equiv 4 \mod 7 \), so ist \(b^4 \equiv 2 \mod 7 \), da \(4^2 \div 7 =2 \space \text{Rest} \space 2\). In jedem dieser Fälle ist
$$b^4+b^2+1 \equiv 2+4+1 \equiv 0 \mod 7 \quad \text{für} \space b^2 \in \{2, \space 4\}$$
und das gilt immer wenn \(b \equiv r \mod 7 \) mit \(r \in \{2, 3, 4, 5\}\) . also unter anderen für \(b=2\) (Dualsystem) und \(b=10\) (Dezimalsystem).
Gruß Werner
