Beweis : n^3-4n immer durch 3 teilbar?

Question

ist die Zahl n^3-4n (n aus dem Bereich der natürlichen Zahlen) durch 3 teilbar?

Falls ja, soll dies NICHT durch vollständige Induktion  gezeigt werden, falls nicht soll es widerlegt werden.

Wer kann helfen?

Comments

Hallo

freundlicher Hinweis: Faktorisiere den Term :).

Answer 1

n³-4n                | n ausklammern

= n(n^2 - 4)      | 3. Binom

=n(n-2)(n+2)

Die 3 Faktoren (n-2), n und (n+2) sind jeweils 2 Einheiten voneinander entfernt. Also 3 aufeinanderfolgende gerade (oder) ungerade Zahlen.

Da jede dritte gerade Zahl die Form 6k=3*(2k) hat, ist sie durch 3 teilbar.

Ausserdem ist auch jede dritte ungerade Zahl durch 3 teilbar. Sie hat dann die Form 6k + 3 = 3(2k+1). 

Answer 2

Es gilt $$n³-3n=(n-1)n(n+1)-3n  $$, und beide Summanden sind wegen n∈ℕ durch 3 teilbar, daher ist also auch n³-n stets für natürliche n durch drei teilbar.

Alternativ kann man die Behauptung auch durch Modulo-Rechnung zeigen, dann sind nur noch die Fälle n=0mod3, n=1mod3 und n=2mod3 zu prüfen.

Noch schneller geht's aber mit dem kleinen Satz von Fermat (3 ist eine Primzahl), also

n³-4n=n³-n=n-n=0(mod3)

bei dem zweiten Gleichzeichen wurde der kleine Satz von Fermat verwendet (beweisen kann man den zum Beispiel über erzeugende Elemente von Gruppen, falls du dich da etwas auskennen solltest;-))

Anmerkung: streng genommen müsste man hier das Kongruenzzeichen ≡ verwenden, dies habe ich jedoch nicht im Formel-Editor gefunden.

Comments

nur ein kleiner Schreibfehler: gegeben war n^3 - 4n -> der Rest stimmt aber.

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Was bitte soll denn daran stimmen? Die Umformung ist schlicht nicht nachvollziehbar und die Antwort daher Blödsinn!

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hyperG hat doch schon auf den Schreibfehler hingewiesen. Was die Nachvollziehbarkeit betrifft, bitte nicht von dir auf andere schließen.

@Antwortgeber: Alternativ hätte man auch die Zerlegung: \(n^3-4n = (n-2)n(n+2) \) wählen können. Den Abschnitt mit dem kleinen Fermat finde ich sehr nice :).

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Ok, jetzt sehe ich, was jd195 vermutlich eigentlich schreiben wollte:
$$ n^3-4n = n^3-n-3n = (n-1)n(n+1)-3n $$Das ist natürlich in Ordnung.