Question

Wie kann ich beweisen, dass 2^n*3^2n − 1 immer durch 17 teilbar ist?

Beweistechniken sind mir noch nicht so geläufig, freue mich über jede Hilfe! Beweis über Induktion?

Answer 1

Beweis per Induktion über  n.

Induktionsanfang: Für  n = 1  ist  2¹·3² - 1 = 17 = 17·1.
Induktionsvoraussetzung: Die Aussage gelte für ein  n > 0.
Induktionsschritt:  Zu zeigen ist, dass die Aussage für  n + 1  gilt.
2ⁿ⁺¹·3²ⁿ⁺² - 1 = 2·2ⁿ·3²·3²ⁿ - 1 = 18·2ⁿ·3²ⁿ - 1 = 18·(2ⁿ·3²ⁿ - 1 + 1)  - 1.
Nach Induktionsvoraussetzung ist  2ⁿ·3²ⁿ - 1  durch  17  teilbar.
Es existiert also eine Zahl  K(n) ∈ ℕ  mit  2ⁿ·3²ⁿ - 1 = 17·K(n). Es folgt
2ⁿ⁺¹·3²ⁿ⁺² - 1 = 18·(17·K(n) + 1) - 1 = 18·17·K(n) + 17 = 17·(18·K(n) + 1).
Daraus folgt die Behauptung.

Comments

"- 1 + 1" das hat mir gefehlt. Saubere Sache ;)

Answer 2

Hi,

2ⁿ * 3²ⁿ - 1 =

2ⁿ * 3ⁿ * 3ⁿ - 1 =

(2*3*3)ⁿ - 1 =

18ⁿ -1 

Jetzt Induktion: 

18ⁿ - 1 ist durch 17 teilbar gilt für n = 1, denn 18¹ - 1 = 17

Annahme: Die Behauptung gilt für n, dann soll sie auch für n+1 gelten. 

(18ⁿ⁺¹ - 1) : (18ⁿ - 1) = 18 Rest 17

18ⁿ⁺¹ - 18

---------------

              17

Also gilt

(18ⁿ⁺¹ - 1) = 18 * (18ⁿ - 1) + 17

(18ⁿ - 1) ist nach Voraussetzung durch 17 teilbar und der zweite Summand 17 selbstredend auch.

Damit ist auch (18ⁿ⁺¹ - 1) durch 17 teilbar, was zu beweisen war.

 

Ich hoffe, das hilft ein wenig :-)

Besten Gruß

Answer 3

2^n ⋅ 3^2n - 1 = 18^n - 1 = (18-1)(⋯) = 17(⋯)

Merke: 18^n - 1 = 18^n - 1^n sowie 1 = 18^0

Alternativ: 18^n - 1 ≡ 1^n - 1 (mod 17)