Wie kann ich nun endgültig beweisen, dass das immer durch 8 teilbar ist?

Question

Die Zahl n soll eine ungerade natürlich Zahl sein, dann ist n² - 1 immer durch 8 teilbar.

Das soll man durch einen direkten Beweis beweisen:

Sei x eine beliebige natürliche Zahl, dann ist (2x - 1) eine beliebige ungerade natürliche Zahl, also n. Dann folgt daraus, dass (2x - 1)² - 1 immer durch 8 teilbar ist. Also:

(2x - 1)² - 1

= 4x² - 4x + 1 - 1

= 4x(x - 1)

Weiter komme ich jedoch nicht. Wie kann ich nun endgültig beweisen, dass das immer durch 8 teilbar ist? Der Klammerausdruck (x - 1) wirft immer eine gerade Zahl raus, aber wie beweise ich nun, dass diese mit 4n multipliziert auch immer durch 8 teilbar ist?

Comments

Eine der beiden Zahlen x und x-1 ist sicher gerade.

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Aber das beweist ja noch nicht, dass es durch 8, sondern höchstens durch 2 teilbar ist, oder?

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Es gibt eine ganze Zahl z mit x(x-1) = 2z. Also ist n² - 1 = 4x(x-1) = 8z.

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Aber das beweist ja noch nicht, dass es durch 8, sondern höchstens durch 2 teilbar ist, oder?

Du hast neben dem Faktor 2 ja noch den Faktor 4. Das gibt also den Faktor 8.

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Ja, 4(x-1) würde ich auch noch verstehen, aber kann das zweite x nicht alles kaputt machen?

Answer 1

Die Zahl n soll eine ungerade natürlich Zahl sein, dann ist n^2 - 1 immer durch 8 teilbar.

n = 2k - 1

n^2 - 1
= (2k - 1)^2 - 1
= (4k^2 - 4k + 1) - 1
= 4k^2 - 4k
= 4·k·(k - 1)

k und k - 1 sind 2 aufeinanderfolgende Werte. D.h. einer davon muss durch 2 teilbar sein und daher ist n^2 - 1 auf jeden Fall durch 8 teilbar.

Comments

k und k - 1 sind 2 aufeinanderfolgende Werte. D.h. einer davon muss durch 2 teilbar sein und daher ist n2 - 1 auf jeden Fall durch 8 teilbar.

Diesen Part verstehe ich nicht ganz. Also ich verstehe, dass einer der Werte durch 2 teilbar sein muss und das Endergebnis auf jeden Fall gerade sein muss. Aber ich verstehe nicht wieso daraus automatisch folgen muss, dass es auch durch 8 teilbar ist.

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Einen Augenblick, ich bin doof. Ist die Logik die Folgende?

4 · x (x-1)

= 4 · Irgendein x · Gerade Zahl

= 4 · Gerade Zahl

= Zahl die durch 8 geteilt werden kann

Sprich das zweite x ist eigentlich irrelevant, weil es, sobald es einmal mit der geraden Zahl multipliziert wird, auch durch zwei teilbar ist / gerade ist? Und wenn man dann eine Zahl die durch zwei teilbar ist mit vier multipliziert, muss diese neue Zahl zwingend durch acht teilbar sein?

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Genau. Jetzt hast du es.

Eine Zahl die Durch 8 Teilbar ist enthält den Faktor 8 oder die Faktoren 4 und 2 und genau das ist hier der Fall.