Logarithmusfunktionen

Question

Mathe ist manchmal schon ein kleines Biest :D

Wir haben zur "Vorlernen" den Logarithmus aufs Aug gedrückt bekommen und die erste Aufgabe ging ja noch ganz gut.

1. lg 25+lg40-lg10 hab ich so gelöst: lg (25*40)/10 = lg 1000/10 = lg 100 => 2

2. log₃ 4/5- log₃ 4/7+ log₃ 5/7 (erst alles auf einen Nenner) = log₃ (28*25/35)/20/35 = log₃ 20

3. log₄ z+ log₄ (zy) -log₄ (zx) ( Klammern aufgelöst und versucht zusammen zufassen)

= log₄ (z*z)+log₄ y-log₄ z-log₄ x Hab ich hier schon irgendwas vergessen? Denn weiter gehts doch nicht oder?

So und bei den letzten 3 weiß ich überhaupt nicht wie es klappen soll?!

a) 2/3 log_b a - 4/5log_b a + 3/4log_b a -> ich denke man muss sicherlich wieder alles auf einen Nenner bringen sprich

40/60log_b a - 56/60log_b a + 45/60log_b a => (40/60) / (-56/60) log_b a+45/60 log_ba => -15/28 log_ba Könnte das stimmen?

So aber bei der nächsten brauche ich Hilfe :D

1/3log_b (x²-y² ) -1/3 log_b (x+y)

Idee: ich mach aus der ersten eine binomische Formel und streiche dabei das (x+y) aber weiter keine Ahnung...

Wäre super mir könnte jemand meine Fehler aufzeigen und bei der letzten erklären, wie es weiter gehen soll.

Vielen Danke :)

Comments

Allgemein solltest Du Klammern setzen, wenn das im Logarithmusargument mehr als eine Zahl oder eine Variable umfasst. Dies betrifft auch Aufgabe 1. Das Ergebnis ist dennoch richtig.

zu 2. log₃(4/5)−log₃(4/7)+log₃(5/7) = log₃(4/5)+log₃(7/4)+log₃(5/7) = log₃(4/5 * 7/4 * 5/7) = log₃1 = 0.

---

zu 3. richtig geklammert und umgeformt. Man könnte weiter vereinfachen.
Ich schlage einen etwas anderen Weg vor, der alle Logarithmen zusammenfasst:
log₄z + log₄(zy) − log₄(zx) = log₄( yz²/(xz) ) = log₄( yz/x ).

---

zu Aufgabe 2, zu Aufgabe a und zum Gleichnamigmachen: Bei 2 haben wir eine Summe von Logarithmen mit gleicher Basis, die nach den Rechenregeln für Logarithmen zum Logarithmus des Produktes der Logarithmusargumente umgeformt werden kann. Das Gleichnamigmachen der Faktoren (Brüche) ist nicht notwendig, sondern eher umständlich.

Bei a haben wir eine Summe von Vielfachen von ein- und demselben Logarithmus. Den klammern wir aus. Danach müssen die Summanden (Brüche) in der Klammer gleichnamig gemacht werden, um sie zusammenfassen zu können.

Fazit: Es liegen zwei ähnlich aussehende und doch völlig verschiedene Aufgaben vor, die jeweils unterschiedlich bearbeitet werden müssen.

---

Zur letzten, namenlosen, Aufgabe: Dein Ansatz mit der dritten binomischen Formel ist schon ganz gut und führt auch zum Ziel; ich klammere zunächst 1/3 aus und fasse dann die Logarithmen zusammen:

1/3·log_b(x²−y²) − 1/3·log_b(x+y) = 1/3·log_b( (x²−y²) / (x+y) ) = ...

Nun kannst Du die binomische Formel zum Faktorisieren benutzen und kürzen. Danach könnte man noch den Faktor 1/3 etwa als 3. Wurzel in den Logarithmus nehmen, je nach Aufgabenstellung und Geschmack.

Man muss noch bedenken, dass diese Umformung nur dann richtig ist, wenn alle Logarithmusargumente positiv sind.

Answer 1

Hi,
mal ein Tipp zu Aufgabe 2. Du kannst das vereinfachen zu \( log_3( \frac{\frac{4}{5}}{\frac{4}{7}}\frac{5}{7})=log_3(1)=0 \)