Logarithmus Gesetze Beweisen

Question

Ich muss die beiden Sätze Beweisen können aber leider habe ich große Schwierigkeiten. Wäre echt dankbar für Ansätze.

Aufgabe:

a) log_a(r : s) = log_ar - log_as

b) f(x) = log_ax gilt f(r · x) = f(x) + log_ar

    Wenn x ver- r- facht wird, ändert sich f(x) additiv um log_ar

Answer 1

Aloha :)

Hier kannst du den Effekt der Umkehrfunktion nutzen. Wegen \(a^{\log_a(x)}=x\) gilt nämlich:

$$a^{\log_a(r/s)}=r/s=a^{\log_a(r)}/a^{\log_a(s)}=a^{\log_a(r)-\log_a(s)}$$$$\Rightarrow\quad\log_a(r/s)=\log_a(r)-\log_a(s)$$

$$a^{f(r\cdot x)}=a^{\log_a(r\cdot x)}=r\cdot x=a^{\log_a(r)}\cdot a^{\log_a(x)}=a^{\log_a(r)+\log_a(x)}$$$$\Rightarrow\quad f(r\cdot x)=\log_a(r\cdot x)=\log_a(r)+\log_a(x)$$

Answer 2

a) ist falsch und zu b) kann man erst was sagen, wenn die Funktion f definiert wurde.

Comments

Tut mir leid, war noch am rechnen und hatte es schnell abgetippt.