Wendetangente zu f(x) = 1/6*x^3-3/4*x^2+2 bestimmen

Question

kann mir bitte jemand diese Aufgabe erklären: Gegeben ist die funktion f mit f (x)= 1/6x^3 - 3/4x^2+2. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt drs Graphen. b) Welchen Flächeninhalt schließt diese Tangente mit den positiven Koordinatrnachsen ein? -- vielen Dank schonmal im Voraus :-)

Answer 1

Bei einem Wendepunkt muss als notwendiges Kriterium f''(x) = 0 sein. Das hinreichende Kriterium für den Wendepunkt ist anschließend f'''(x) ≠ 0

zu a) Wir bilden erstmal die Ableitungen

f'(x) = 0,5*x² - 1,5*x

f''(x) = x -1,5

f'''(x) = 1

Notwendiges Kriterium für Wendepunkt f''(x) = 0 ->  x -1,5 = 0 -> x = 1,5

Hinreichende Kriterium für Wendepunkt f'''(x) ≠ 0 -> ist mit f'''(x) = 1 erfüllt. Also liegt ein Wendpunkt an der Stelle x = 1,5 vor. Rechnen wir gleich dazu den Funktionswert aus: f(x = 1,5) = (1/6)*1,5³ - (3/4)*1,5²+2 = 0,875

Tangente im Wendepunkt ?

Tangente ist eine Gerade und kann allgemein so beschrieben werden: y = m*x +n, m = Anstieg und n ist Schnittpunkt mit der y-Achse.

Der Anstieg m ist gleich der 1. Ableitung an der Stelle des Wendepunktes: m = f'(x = 1,5) = 0,5*1,5² - 1,5*1,5 = -1,125

Wir kennen den Y-Wert des Wendepunktes mit y = 0,875. Mit m = -1,125 folgt unter Heranziehen der allgemeinen Tangentengleichung 0,875= - -1,125*1,5 + n -> n = 2,5625 -> y = -1,125*x + 2,5625

zu b)

Die Gleichung der Tangente verläuft fallend und schneidet die y-Achse bei 2,5625. Deren Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) berechnet sich zu 0 = -1,125*x + 2,5625   -> x = 2,278

Wenn wir von "positiven" Koordinatenachsen reden, dann ist der 1. Quadrant gemeint. Wollen wir hier den Flächeninhalt unter der Geraden berechnen, müssen wir die Integralrechnung oder da hier eine einfache geometrische Figur (Dreieck) vorliegt, einfach die Flächenberechnung für ein Dreieck ansetzen:

Fläche Dreieck = 0,5*Höhe*Grundseite

Grundseite = x-Achsenabschnitt = 2,278 LE und Höhe = y-Achsenabschnitt = 2,5625 LE

-> A = 0,5*2,278 LE* 2,5625 LE = 2,92 FE

Probe mit Integralrechnung: ∫₀^2,278 f(x) dx = -1,125*x²/2 + 2,5625*x |₀^2,278 = 2,92 FE

Answer 2

f(x) = 1/6·x^3 - 3/4·x^2 + 2
f'(x) = 0.5·x^2 - 1.5·x
f''(x) = x - 1.5

Wendepunkt f''(x) = 0

x - 1.5 = 0
x = 1.5

f(1.5) = 7/8

f'(1.5) = - 9/8

Tangentengleichung im WP

t(x) = f'(1.5) * (x - 1.5) + f(1.5) = - 9/8 * (x - 1.5) + 7/8 = 41/16 - 9/8·x

Y-Achsenabschnitt t(0)

t(0) = 41/16

Nullstelle t(x) = 0

41/16 - 9/8·x = 0
x = 41/18

Fläche

A = 1/2 * 41/16 * 41/18 = 1681/576 = 2.918402777