Definitionsbereich angeben und Ableitung bestimmen: a) f(x)= √(4-x^2)/ x

Question

f(x)= √(4-x²)/ x

 

und bei

 

f(x)= ⁸√ (x+1)⁶

 

Unknown: Klammern bei der ersten Funktion gesetzt.

Comments

f(x)= √4-x²/ x ist sicherlich falsch
Heißte es
f ( x ) = √ ( 4-x²/ x )  oder
f ( x ) = √ ( 4-x² ) / x 
mfg Georg

Answer 1

f(x)= ⁸√ (x+1)⁶
Def Bereich:
Der Wert ist der Wurzel ist, dank ^6 , immer positiv:
D = ℝ
Andere Schreibweise
f ( x ) = ( x + 1 )^{6/8}
f ( x ) = ( x + 1 )^{3/4}
f `( x ) = 3/4 * ( x + 1 )^{-1/4}
f ´( x ) = 3/4 / ( x + 1 )^{1/4}
f ´( x ) = 3 / ( 4 * ⁴√ ( x + 1)  )

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Wie findet man denn den Definitionsbereich?

 

LG

---

Hauptsächlich wird der Def-Bereich eingeschränkt durch
Logarithmus, Wurzel und Bruch

- der Wert im Logarithmus muß > 0 sein. ln ( -4 ) ist nicht möglich
  ln ( x ) : D = ℝ⁺
- der Wert in der Wurzel muß >= 0 null sein. √ -4 ist nicht möglich.
  √ x : D = ℝ⁺₀
- der Nenner eines Bruchs muß ungleich 0 sein. 2 / 0 ist nicht möglich
  a / x : D = ℝ \ { 0 }

  In deinem Fall ist der Term in der Wurzel  (x+1)⁶. Auch ein negativer
Wert in der Klammer würde positiv (-a)^6 = + a^6. Die Wurzel kann
stets gezogen werden, Auch die achte.

  Bei Fragen wieder melden.

  mfg Georg

---

Falls dies deine korrigierte Funktion ist

f ( x ) = √ ( 4-x² ) / x
Einschränkung des Def-Bereichs durch
4 - x^2  >= 0
x^2 <= 4
x >= -2 und x <= 2
-2 <= x <= 2
x liegt zwischen -2 und 2

... / x : x muß ungleich 0 sein

D = [ -2 ; 2 ] \ 0

Die 1. Ableitung wird gebildet durch Kettenregel und Quotionentenregel
u =  √ ( 4 - x² )
u ´ = ( -2*x ) / ( 2 * √ ( 4 - x² ) )
u ´ = -x  / √ ( 4 - x² )
v = x
v ´= 1
Qutionentenregel
( u / v ) ´ = ( u´ * v - u *  v´ ) / v^2
( √ ( 4-x² ) / x ) ´ = [  ( -x ) / √ ( 4-x² ) * x   -   √ ( 4 - x² ) * 1 ] / x^2
( √ ( 4-x² ) / x ) ´ = [  ( -x^2 ) / √ ( 4-x² )   -   √ ( 4 - x² )  ] / x^2    | * √ ( 4-x²  ) / √ ( 4-x²  )
( √ ( 4-x² ) / x ) ´ = [   -x^2    -   ( 4 - x²  ) ] / [  x^2   * √ ( 4-x²  ) ]
( √ ( 4-x² ) / x ) ´ = [  -x^2    -4 + x²  ] /  [  x^2   * √ ( 4-x²  ) ]
( √ ( 4-x² ) / x ) ´ =  -4  /  ( x^2   * √ ( 4-x²  ) )

Bei Fragen wieder melden

mfg Georg