Vollständigkeits-Axiom beweisen

Question

Es soll gezeigt werden, dass aud dem Intervallschachtelungs-Prinzip das Vollständigkeits-Axiom folgt.

Es steht: Sei \( (a_n) \) eine Cauchy-Folge. Nach Definition gibt es eine Folge \( n_0 < n_1 < n_2 < ...\) natürlicher Zahlen mit \( |a_n - a_m| < 2^{-k} \) für alle \(n, m \ge n_k \).

Hier fängt schon mein Problem an. Erstens verstehe ich nicht was die indizierten natürlichen Zahlen mit der Ungleichung zu tun haben. Zweitens ist mir der Zusammenhang zwischen dem k und dem \(n_k\) nicht klar. Es ist mir klar, dass bei einer Cauchy-Folge \( |a_n - a_m| \) kleiner sein muss als eine beliebige positive Zahl. \( 2^{-k} \) ist positiv also es passt. Man muss aber beachten, dass es für beliebige n,m gilt die größer sind als eine natürliche Zahl und woher weißt man, dass es sich dabei um die Zahl \( n_k \) handelt?

Answer 1

Hi, die Definition einer Cauchyfolge ist ja, $$ \text  { Für alle } \epsilon \gt 0 \text { existiert ein }N \in \mathbb N \text { s.d. für } n,m \ge N \text { gilt } |a_n-a_m|\le\epsilon$$ Jetzt nehme für \( \epsilon \) die Werte \( 2^{-k} \) Dann gibt es für \( 2^0 \) ein \( n_0 \) und für \( 2^1 \) ein \( n_1 \) und für \( 2^k \) ein \( n_k \) mit der obigen Eigenschaft. Damit existiert die beschriebene Folge als Folgerung aus der Definition für die Cauchyfolge.