Question

Bestimmen Sie die Menge aller reellen Zahlen, für welche g(x) < f(x) ist.

$$ f(x)\quad =\quad \sqrt { |x| } -1\\ g(x)\quad =\quad x\quad -\quad 1 $$

 

Comments

Nachfrage :

meinst du

√ ( | x | -1 ) oder√ ( | x |)   -1

mfg Georg

Answer 1

g ( x ) < f ( x )

<=> x - 1 < √ ( | x | )  - 1

<=> x < √ ( | x | )

Fall 1: x < 0

Dann:

x < √ ( | x | )

<=> x < √ ( - x )

<=> - ( - x ) < √ ( - x )

<=> - √ ( - x ) * √ ( - x ) < √ ( - x )

<=> - √ ( - x ) < 1

Immer wahre Aussage, da sogar gilt: - √ ( - x ) < 0

also Lösungsmenge:

L₁ = { x ∈ R | x < 0 }

Fall 2: x ≥ 0

Dann:

x < √ ( | x | )

<=> x < √ ( x )

<=> √ ( x ) * √ ( x ) < √ ( x )

<=> √ ( x ) < 1

<=> x < 1

also Lösungsmenge:

L₂ = { x ∈ R | x ≥ 0 und x < 1 }

 

Insgesamt:

L = L₁ ∪ L₂ = { x ∈ R | x < 0 oder x ≥ 0 und x < 1 } = { x ∈ R | x < 1 }

Comments

Vielen Dank aber ich verstehe kaum was. Wieso machst du diese Fallunterscheidung?

Wieso kommst du hier auf das und unten auf was anderes?

Fall 1
x < √ ( | x | )

<=> x < √ ( - x )

Fall 2

x < √ ( | x | )

<=> √ ( x ) * √ ( x ) < √ ( x )

---

Die Fallunterscheidung mache ich, um den Betrag aufzulösen.

Der Betrag von x ist so definiert:

$$\left| x \right| =\left\{ \begin{matrix} -x,\quad falls\quad x<0 \\ x,\quad falls\quad x \ge 0 \end{matrix} \right\}$$

Falls also nun x < 0 ist (Fall 1), dann löst man den Betrag in der Ungleichung

x < √ ( | x | )

demgemäß so auf:

<=> x < √ ( - x )

und falls x ≥ 0 ist ( Fall 2) , dann löst man so auf:

x < √ ( | x | )

<=> x < √ ( x )

Diese letzte Zeile fehlt in meiner Antwort  (eigentlich meine ich, sie hingeschrieben zu haben...) deshalb sieht Fall 2 im Vergleich zu Fall1 etwas anders aus. Ich habe diese fehlende Zeile meiner Antwort hinzugefügt und blau markiert - schau bitte dort noch einmal nach.

Ich habe auch noch einige weitere Ergänzungen hinzugefügt und ebenfalls blau markiert.

Ich hoffe, es wird jetzt klarer.

---

Das mit dem Betrag habe ich jetzt verstanden. Was ich aber noch nicht verstehe...

Fall 1: x < 0

Dann:

x < √ ( | x | )

<=> x < √ ( - x )

<=> - ( - x ) < √ ( - x ) // Wieso negierst du die Linke Seite? Die Vorzeichen heben sich auf?

<=> - √ ( - x ) * √ ( - x ) < √ ( - x ) // Wie kommst du von - ( - x ) auf - √ ( - x ) * √ ( - x )

<=> - √ ( - x ) < 1 // Woher kommt die Eins?

Sorry, diese Aufgabe ist echt verwirrend für mich.

---

x < √ ( | x | )

<=> x < √ ( - x )

<=> - ( - x ) < √ ( - x ) // Wieso negierst du die Linke Seite? Die Vorzeichen heben sich auf?

Damit ich im nächsten Schritt - x in √ ( - x ) * √ ( - x ) zerlegen kann.

<=> - √ ( - x ) * √ ( - x ) < √ ( - x ) // Wie kommst du von - ( - x ) auf - √ ( - x ) * √ ( - x )

Nun, es ist : - ( - x ) = - √ ( - x ) * √ ( - x )

Multipliziere doch mal aus: - √ ( - x ) * √ ( - x ) = - ( √ ( - x ) ) ² = - ( - x ) . Alles klar?

<=> - √ ( - x ) < 1 // Woher kommt die Eins?

Ich habe beide Seiten der Ungleichung

- √ ( - x ) * √ ( - x ) < √ ( - x )

durch √ ( - x ) dividiert. Dadurch fällt links eine Wurzel weg und rechts Seite ergibt sich:

√ ( - x ) / √ ( - x ) = 1

Insgesamt verbleibt also:

<=> - √ ( - x ) < 1

---

Jetzt verstehe ich alles aber ich bin mir bei der Lösung nicht ganz sicher. Ich habe die Kurzlösung dieser Aufgabe und da ist angegeben: x ∈ (-∞, 0) oder (0, 1). Also sind es doch offene  Intervalle. So gehört doch die 0 nicht dazu oder? Wolfram bestätigt das auch: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x-1%3C%E2%88%9A%7Cx|+-+1+solution