Stetigkeit für Funktionen zeigen

Question

:)...

Ich soll folgende Aufgabe bearbeiten , hab leider jedoch wirklich keine Lösungsansätze ...:

1. Zeigen oder widerlegen Sie für Funktionen f; g : R ⇒ R und a ∈ R die Aussagen:
a) f ist stetig in a ⇒ Ι f Ι ist stetig in a
b) jfj ist stetig in a ⇒ f ist stetig in a
c) f *g ist stetig in a ⇒ f und g sind stetig in a
2. Untersuchen Sie, an welchen Stellen die Funktion f : R ⇒ R mit
f(x) =     x falls x ∈Q
        1 - x falls x ∈ R / Q

stetig bzw. unstetig ist.
(Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass für jede beliebige reelle Zahl x konvergente
Folgen mit Grenzwert x existieren, die vollständig rational oder vollständig irrational sind. )

Answer 1

Aufgabe 1a)

Weil f stetig in a ist gilt \( | f(x)-f(a) | \lt \epsilon \)  für alle \( \delta \gt 0 \) Wegen \( | |f(x)|-|f(a)| |\le | f(x)-f(a) | \lt \epsilon  \) ist \( |f(x)| \) in a stetig.

Aufgabe 1b)

Definiere f(x) als \( f(x)=\begin{cases} 1 & \text{für } x \ne 1 \\ -1 & \text{für } x=1 \end{cases} \) Für diese Funktion gilt \( |f(x)|=1 \) für alle x. D.h aus |f(x)| stetig in a folgt nicht f(x) stetig in a.

Aufgabe 1c)

Definiere $$ f(x)=\begin{cases} 1 & \text{für } x \le 0 \\ 0 & \text{für } x\gt 0 \end{cases} $$ und $$ g(x)=\begin{cases} 0 & \text{für } x \le 0 \\ 1 & \text{für } x\gt 0 \end{cases} $$ Es gilt \(  f(x) \cdot g(x) = 0 \) also stetig für alle x, aber weder f noch g sind stetig in 0.

Aufgabe 2 kommt nachher

Comments

Jetzt Aufgabe 2)

Die Funktion $$ f(x)=\begin{cases} x, & \text{für } x \in \mathbb Q \\ 1-x & \text{für } x \notin \mathbb Q \end{cases} $$ ist überall unstetig außer in \( x=\frac{1}{2} \)

Das sieht man wie folgt:

Sei zuerst \( x\gt \frac{1}{2} \) dann gibt es ein \( \delta\gt 0 \) s.d. für alle \( y \in U_{\delta}(x)\) gilt, \( y \gt \frac{1}{2} \). In dieser \( \delta \)-Umgebung gibt es y mit \( y\notin \mathbb Q \). Für dieses y gilt $$ |f(x)-f(y)|= |x-(1-y)|=|x+y-1| $$ Wähle jetzt \( \epsilon=\delta \)

Da \( x \) und \( y \) beide größer als \( \frac{1}{2} \) sind, ist \( x+y-1\gt 0 \) und somit \( |x+y-1|=x+y-1 \)

Da \( y \in U_{\delta}(x) \) ist, gilt \( y \gt x-\delta \gt \frac{1}{2} \) und damit kann man wie folgt abschätzen $$ |f(x)-f(y)| \gt x+x-\delta -1=2\left(x-\frac{\delta}{2} \right)-1\gt 2 \left( \frac{1+\delta}{2} \right)-1=\delta  $$  Daraus folgt f ist nicht stetig für \( x \gt \frac{1}{2} \). Für \( x \lt \frac{1}{2} \) zeigt man das genauso.

Für \( x=\frac{1}{2} \) folgt \( f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} \) und  $$ \left|f \left( \frac{1}{2} \right)-f(y) \right|=\left| x-\frac {1}{2}  \right| $$ Wähle jetzt \( \delta=\epsilon \) dann folgt die Stetigkeit in \(x=\frac{1}{2}  \)