Wie bilde ich die dritte Ableitung? Zweite Ableitung ist y''=(-12x + 4x^3) / (1+x^2)^3

Question

Wie muss ich die 3. Ableitung der folgenden Funktion bilden?

y''=(-12x + 4x^3) / (1+x^2)^3

 

Anmerkung. Das ist bereits die 2. Ableitung.

Comments

Ist das bereits die zweite Ableitung? Oder möchtest du das da noch dreimal abgeleitet haben?

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Ja das ist schon die zweite Ableitung.

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und was ist x* im Zähler?

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x + sollte es sein

Answer 1

Ableiten mit Quotientenregel:

y'' = (4x^3 - 12x) / (x^2 + 1)^3

u = 4x^3 - 12x
u' = 12x^2 - 12

v = (x^2 + 1)^3
v' = 3(1 + x^2)^2·2x = 6x·(x^2 + 1)^2  

y''' = ((12x^2 - 12)·(1 + x^2)^3 - (4x^3 - 12x)·6x·(x^2 + 1)^2) / (1+x^2)^6
y''' = ((12x^2 - 12)·(1 + x^2) - (4x^3 - 12x)·6x) / (1+x^2)^4
y''' = ((12x^4 - 12) - (24x^4 - 72x^2)) / (1+x^2)^4
y''' = (- 12x^4 + 72x^2 - 12) / (1+x^2)^4

Comments

wie hast du denn bei (1+x^2) gekürzt?

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Die höchste Potenz im Zähler ist 2. Daher kürze ich die Klammer jeweils 2 mal. Achtung. Man muss dabei im Zähler aus jedem Summanden kürzen und nicht nur aus einem Summanden

Hier ist mal zu sehen wie man durch a kürzt:

(ab + ac) / (ad) = (b + c) / d

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y''' = ((12x^2 - 12)·(1 + x^2) - (4x^3 - 12x)·6x) / (1+x^2)^4
y''' = ((12x^4 - 12) - (24x^4 - 72x^2)) / (1+x^2)^4

Bei diesem Schritt kann man einen Zwischenschritt einfügen

y''' = ((12x^2 - 12)·(1 + x^2) - (4x^3 - 12x)·6x) / (1+x^2)^4
y''' = ((12x^4 - 12 + 12x^2 -12x^2) - (24x^4 - 72x^2)) / (1+x^2)^4

y''' = ((12x^4 - 12) - (24x^4 - 72x^2)) / (1+x^2)^4