x und y bestimmen (Umfang)

Question

 

Gegeben ist folgende Figur:

Wie müssen x und y gewählt werden, damit der farbig unterlegte Flächeninhalt A der Figur bei fest vorgegebenen Umfang U=1 möglichst groß wird? Hinweis: Für x kommen nur Werte zwischen 0 und 2/(pi+4) infrage. 

 

Danke für eure Hilfe :)

Answer 1

Hi,

die Fläche berechnet sich zu $$ (1) \quad A=2xy+\frac{x^2}{2}\pi $$ und der Umfang zu $$ (2) \quad U=2x+2y+x\pi $$ Da U=1 gegeben ist folgt aus (2) $$ (3) \quad y=\frac{1}{2}-\frac{x\pi}{2}-x $$ das eingesetzt in (1) ergibt $$ (4) \quad A=x-\frac{x^2\pi}{2}-2x^2 $$ Nun A nach x ableiten ergibt \( A'(x)=1-x\pi-4x \) und das 0 setzten ergibt \( x=\frac{1}{4+\pi} \) das in (3) einsetzen ergibt \( y=\frac{1}{4+\pi} \)

Nun noch die 2-te Ableitung von A bilden undkontrollieren ob A''(x) < 0 gilt, dann liegt nämlich ein Maximum vor und man ist fertig. Es gilt \( A''(x)=-\pi-4 \lt 0 \)

Comments

Man muss in diesem Fall nicht unbedingt ableiten. Es geht auch ohne unter Berücksichtigung, dass eine quadratische Funktion einen Scheitelpunkt hat und dieser entweder ein Maximum oder ein Minimum darstellt.

Derartige Aufgaben werden m. E. in der 9. Klasse gestellt.

Answer 2

Das ist eine Optimierungsaufgabe, die man folgendermaßen löst:

1. Zielfunktion aufstellen (immer das, was optimiert werden sollte) 

Flächeninhalt der gesamten Figur = Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen 2x und y + Flächeninhalt des Halbkreises mit Radius x

A (x, y) = 2*x*y + 0,5*π*x²

2. Nebenbedingung auf stellen (immer, das, was sonst noch gegeben und von Nutzen sein kann):

Umfang der gesamten Figur = 2*x + 2*y + π*x = u = 1 -> nach y auflösen

2*x + 2*y + π*x = 1

2*y = 1 -2*x - π*x = 1 -x*(2 + π) - > y = 0,5 -x*(1 + 0,5*π) = 0,5 -x*(1 + 0,5*π)

3. y in Zielfunktion einsetzen

A (x) = 2*x*(-x*(1 + 0,5*π) + 0,5) + 0,5*π*x² = -x²*(2 + 0,5*π) + x     -> das ist eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitelpunkt ein Maximum ist.

hier a = -(2 + 0,5*π) und b = 1 in Scheitelpunktformel ergibt für die Koordinate x = - 1/[-2*(2 + 0,5*π)] = 1/(4 + π) ~ 0,14 und das ist kleiner als 2/(π + 4)

> y = 0,5 - (1 + 0,5*π)/(4 + π) =  0,14