Sei \(M_A=\{M:A\subset M,\) und \(M\) ist abgeschlossen\(\}\), entsprechen \(M_B\).
Dann gilt \(\bar{A}=\bigcap M_A\) und \(\bar{B}=\bigcap M_B\).
Da jede abgeschlossene Obermenge von \(B\) auch eine abgeschlossene
Obermenge von \(A\) ist, gilt
\(M_B\subset M_A\), also \(\bar{A}=\bigcap M_A\subset \bigcap M_B=\bar{B}\).
Ist \(K_o\) eine offene Kugel und \(K_g\) die zugehörige abgeschlossene Kugel,
dann gilt, da eine abgeschlossene Kugel (nach Vorlesung) eine abgeschlossene Menge ist,
nach dem eben bewiesenen:
\(K_o\subset K_g\Rightarrow \bar{K_o}\subset \bar{K_g}=K_g\).
Sei nun \((X,d)\) ein Raum mit der diskreten Metrik und mehr als einem
Element, sei ferner \(y\in X\), dann ist \(\{x\in X:\;d(x,y)\lt 1\}=\{y\}\) eine offene Kugel,
zugleich aber auch eine abgeschlossene Menge, da in \(X\) jede Menge sowohl offen
als auch abgeschlossen ist. Die zugehörige abgeschlossene Kugel ist hingegen
ganz \(X\).
