Metrik Aufgaben Kugel zeichnen

Question

Aufgabe 1 und Aufgabe 2 habe ich schon gelöst.

ich habe bei der Aufgabe 3 und 4 Probleme.

Ich weiß nicht wie ich da die Kugeln bei der Aufgabe 3) zeichnen soll.

Kann mir da jemand bitte einen Ansatz geben ?

.

Aufgabe \( 1 . \) Wir definieren eine Abbildung \( d: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
$$ d\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right):=\left\{\begin{array}{ll} {\left|y_{1}-y_{2}\right|,} & {\text { falls } x_{1}=x_{2}} \\ {\left|y_{1}\right|+\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{2}\right|,} & {\text { falls } x_{1} \neq x_{2}} \end{array}\right. $$
(1) Der Balkon von Romeo befindet sich im Punkt \( R \) mit Koordinaten \( (1,3) \) und der Balkon von Julia im Punkt \( J \) mit Koordinaten \( (4,7) . \) Berechnen Sie die Entfernung zwischem \( R \) und \( J \) bezüglich der Metriken, die von Normen \( \|\cdot\|_{1},\|\cdot\|_{2} \) und \( \|\cdot\|_{\infty} \) induziert \( ^{1} \) sind.

(2) Beweisen Sie, dass \( d \) eine Metrik \( ^{2} \) auf \( \mathbb{R}^{2} \) ist. Berechnen Sie \( d(R, J) \)

(3) Skizzieren Sie die Kugel \( B_{1}((2,2)), B_{2}((2,2)), B_{3}((2,2)) \) und \( B_{4}((2,2)) \) in dem metrischen Raum \( \left(\mathrm{R}^{2}, d\right) \)

(4) Für die Menge \( M:=\{(t, 2) | 0<t<2\} \) geben Sie die folgenden Mengen an (alles bezüglich \( d): \)

(a) Die Menge Ber ( \( M \) ) der Berührpunkte von \( M \).

(b) Die Menge \( \mathrm{HP}(M) \) der Häufungspunkte von \( M \)

(c) Die Menge \( M^{\circ} \) der inneren Punkte von \( M \)

(d) Den Rand \( \partial M \) 

Comments

Ich fange mit B1((2|2)) an :

Bezeichnung :  offene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r als

Br(a) = {x aus X | d(a, x) }< r }

a = (2,2) -> Br(a) = { x aus X | d((2,2) , x) < 1}

Wie gehe ich nun weiter ?

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Du verwendest die konkrete Definition der Metrik und solltest auch nicht mehr die Platzhaltermenge X aus der Definition verwenden, sondern die um die es hier geht.

Answer 1

Um dir  B₁(2,2) = { (x,y)  aus IR^2  | d((2,2) , (x,y)) < 1} vorzustellen

analysiertst du die Def. von d:

wenn x=2 ist dann ist   d((2,2) , (x,y)) = | 2 - y | also alle Punkte, die auf der

Strecke von (2;1) bis (2;3) liegen.

wenn z.B. x≠2  ist, dann ergibt    d((2,2) , (x,y)) =

|y| + |x1-2| + 2   ja schon mal  mindestens 2, ist also nie < 1.

Für Radius 2 ist es ähnlich , da ist die oben genannte Strecke nur etwa länger.

Bei Radius 3 kann ja nun auch    |y| + |x1-2| + 2< 3 klappen.
mit       |y| + |x1-2|    <  1
und jetzt kannst du ja einfach mal ein paar Werte für x y testen
wann hier  =1  erreicht wird,  etwa
x            y
1,5       0,5
1,6       0,6
1,1       0,9
1            0
....
2           1
2,1      0,9
2,2      0,8
......
3           0
etc .

Wenn du das mal etwas einzeichnest, siehst du es schon.

Comments

Können Sie mir da bitte bei der Aufgabe 4) helfen?

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So genau habe ich da auch keine Idee. Vielleicht hilft

https://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%A4ufungspunkt#H.C3.A4ufungspunkte_und_Ber.C3.BChrpunkte_einer_Menge