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Hallo liebe Helfer...

Meine Frage steht im Titel. Was Kugelkoordinaten sind weiß ich. Aber wie kann ich das lokale Dreibein berechnen oder die metrischen Koeffizienten? Ich habe das Ergebnis in Wikipedia gefunden

https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Tensor

aber keine Ahnung, wie man das berechnet. Ich will das verstehen, denn in einer Probeklausur soll die Metrik für Zylinderkoordinaten bestimmt werden.

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Aloha :)

Für die Kugelkoordinaten \((r,\theta,\varphi)\) soll die Metrik berechnet werden. Der Ortsvektor in Kugelkoordinaten lautet:$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r\,\sin\theta\,\cos\varphi\\r\,\sin\theta\,\sin\varphi\\r\cos\theta\end{array}\right)$$Daraus bestimmen wir das lokale Dreibein und die metrischen Koeffizienten:

$$\frac{\partial\vec r}{\partial r}=\left(\begin{array}{c}\sin\theta\,\cos\varphi\\\sin\theta\,\sin\varphi\\\cos\theta\end{array}\right)\quad;\quad g_r=\left|\frac{\partial\vec r}{\partial r}\right|=1$$$$\frac{\partial\vec r}{\partial \theta}=\left(\begin{array}{c}r\,\cos\theta\,\cos\varphi\\r\,\cos\theta\,\sin\varphi\\-r\sin\theta\end{array}\right)\quad;\quad g_\theta=\left|\frac{\partial\vec r}{\partial\theta}\right|=r$$$$\frac{\partial\vec r}{\partial \varphi}=\left(\begin{array}{c}-r\,\sin\theta\,\sin\varphi\\r\,\sin\theta\,\cos\varphi\\0\end{array}\right)\quad;\quad g_\varphi=\left|\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\right|=r\sin\theta$$Die Vektoren sind paarweise orthogonal (das rechne ich jetzt nicht vor, den Spaß möchte ich dir nicht nehmen), daher besteht die Metrik nur aus den Diagonalelementen:$$g=(g_{ik})=\left(g_i\cdot g_k\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & r^2 & 0\\0 & 0 & r^2\sin^2\theta\end{array}\right)$$

Avatar von 152 k 🚀

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