Aloha :)
Für die Kugelkoordinaten \((r,\theta,\varphi)\) soll die Metrik berechnet werden. Der Ortsvektor in Kugelkoordinaten lautet:$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r\,\sin\theta\,\cos\varphi\\r\,\sin\theta\,\sin\varphi\\r\cos\theta\end{array}\right)$$Daraus bestimmen wir das lokale Dreibein und die metrischen Koeffizienten:
$$\frac{\partial\vec r}{\partial r}=\left(\begin{array}{c}\sin\theta\,\cos\varphi\\\sin\theta\,\sin\varphi\\\cos\theta\end{array}\right)\quad;\quad g_r=\left|\frac{\partial\vec r}{\partial r}\right|=1$$$$\frac{\partial\vec r}{\partial \theta}=\left(\begin{array}{c}r\,\cos\theta\,\cos\varphi\\r\,\cos\theta\,\sin\varphi\\-r\sin\theta\end{array}\right)\quad;\quad g_\theta=\left|\frac{\partial\vec r}{\partial\theta}\right|=r$$$$\frac{\partial\vec r}{\partial \varphi}=\left(\begin{array}{c}-r\,\sin\theta\,\sin\varphi\\r\,\sin\theta\,\cos\varphi\\0\end{array}\right)\quad;\quad g_\varphi=\left|\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\right|=r\sin\theta$$Die Vektoren sind paarweise orthogonal (das rechne ich jetzt nicht vor, den Spaß möchte ich dir nicht nehmen), daher besteht die Metrik nur aus den Diagonalelementen:$$g=(g_{ik})=\left(g_i\cdot g_k\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & r^2 & 0\\0 & 0 & r^2\sin^2\theta\end{array}\right)$$
