Metrik abgeschlossene Kugel

Question

Halli

ich muss beweisen, dass aus A ⊂ B folgt A^-- ⊂ B^--  (hiermit ist der Abschluss gemeint).

Außerdem muss ich beweisen, dass der Abschluss der offenen Kugel in der abgeschlossenen Kugel enthalten ist, aber Gleichheit nicht immer gilt.

Ich komme mit den ganzen Begrifflichkeiten noch nicht klar und habe daher keine Ahnung, was ich hier machen muss/soll. Wäre dankbar für jeden Tipp.

Answer 1

Sei \(M_A=\{M:A\subset M,\) und \(M\) ist abgeschlossen\(\}\), entsprechen \(M_B\).

Dann gilt \(\bar{A}=\bigcap M_A\) und \(\bar{B}=\bigcap M_B\).

Da jede abgeschlossene Obermenge von \(B\) auch eine abgeschlossene

Obermenge von \(A\) ist, gilt

\(M_B\subset M_A\), also \(\bar{A}=\bigcap M_A\subset \bigcap M_B=\bar{B}\).

Ist \(K_o\) eine offene Kugel und \(K_g\) die zugehörige abgeschlossene Kugel,

dann gilt, da eine abgeschlossene Kugel (nach Vorlesung) eine abgeschlossene Menge ist,

nach dem eben bewiesenen:

\(K_o\subset K_g\Rightarrow \bar{K_o}\subset \bar{K_g}=K_g\).

Sei nun \((X,d)\) ein Raum mit der diskreten Metrik und mehr als einem

Element, sei ferner \(y\in X\), dann ist \(\{x\in X:\;d(x,y)\lt 1\}=\{y\}\) eine offene Kugel,

zugleich aber auch eine abgeschlossene Menge, da in \(X\) jede Menge sowohl offen

als auch abgeschlossen ist. Die zugehörige abgeschlossene Kugel ist hingegen

ganz \(X\).