$$\sum _{ k=1 }^{ 4 }{ \sum _{ m=1 }^{ k }{ m } }$$Die innere Summe ist die Summe der ersten k natürlichen Zahlen und kann daher mit dem "Kleinen Gauß" (Gaußsche Summenformel) geschrieben werden:$$=\sum _{ k=1 }^{ 4 }{ \frac { k(k+1) }{ 2 } }$$Konstanten Faktor vor die Summe ziehen, Summanden ausmultiplizieren:$$=\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=1 }^{ 4 }{ { \left( { k }^{ 2 }+k \right) } }$$Summe in zwei Teilsummen zerlegen $$=\frac { 1 }{ 2 } \left( \sum _{ k=1 }^{ 4 }{ { k }^{ 2 }+\sum _{ k=1 }^{ 4 }{ k } } \right)$$Die erste Summe ist die Summe der ersten 4 Quadratzahlen, diese kann durch eine Formel ersetzt werden. Die zweite Summe ist die Summe der ersten 4 natürlichen Zahlen, dafür kann wieder der "kleine Gauß" verwendet werden:$$=\frac { 1 }{ 2 } \left( \left( \frac { 4*(4+1)*(2*4+1) }{ 6 } \right) +\left( \frac { 4*(4+1) }{ 2 } \right) \right)$$Nun nur noch ausrechnen:$$=\frac { 1 }{ 2 } \left( 30+10 \right)$$$$=20$$
