eindeutikeit einer linearen abbildung

Question

(i) Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung f : R3 → R3 mit f((1,1,−1)) = (1,0,1),f((1,0,0)) = (1, 1,0) und f((0,0,1)) = (2, 1,1) gibt. Ist f surjektiv? Bestimmen Sie f((2, 1,1)).

(ii) Gibt es eine lineare Abbildung f : R3 → R4 mit

f((−1,2,4)) = (1,0,0,1) und f((2,2,4)) = (1,2,1,2)? Gibt es eine injektive lineare Abbildung f mit dieser Eigenschaft?

Answer 1

 f((1,1,−1)) = (1,0,1)

f((1,0,0)) = (1, 1,0) 

f((0,0,1)) = (2, 1,1)

1. Zeile der Matrix

a + b - c = 1
a = 1
c = 2
a = 1 ∧ b = 2 ∧ c = 2

2. Zeile der Matrix

a + b - c = 0
a = 1
c = 1
a = 1 ∧ b = 0 ∧ c = 1

3. Zeile der Matrix

a + b - c = 1
a = 0
c = 1
a = 0 ∧ b = 2 ∧ c = 1

Damit lautet die Matrix der linearen Abbildung

M = [1, 2, 2; 1, 0, 1; 0, 2, 1]

[1, 2, 2; 1, 0, 1; 0, 2, 1] * [2; 1; 1] = [6; 3; 3]