Vollständige Aufgabenstellung:
Untersuch die Reihe auf Konvergenz
$$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { n+1 }{ n²+3n+1 } } $$
Ist die Idee richtig mit dem Quotientenkriterium zu zeigen, dass
$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \left| { x }_{ n+1 } \right| }{ \left| { x }_{ n } \right| } } <1\quad \Rightarrow \quad \quad \lim _{ n\rightarrow \infty } \cfrac { \frac { (n+1)+1 }{ (n+1)²+3(n+1)+1 } }{ \frac { n+1 }{ n²+3n+1 } } \quad =\lim _{ n\rightarrow \infty } \cfrac { \frac { n+2 }{ n²+5n+5 } }{ \frac { n+1 }{ n²+3n+1 } } \quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty } \cfrac { (n+2)(n²+3n+1) }{ (n+1)(n²+5n+5) } \quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty } \cfrac { n³+5n²+7n+2 }{ n³+6n²+10n+5 } \quad <1$$
?
wenn dass der richtige weg ist fällt mir trotzdem nicht ein, wie ich die die ungleichung ganz rechts beweisen soll.
Kann mir jemand sagen, ob das der richtige ansatz ist und wie es weiter geht?
