Skalarprodukt rechenregeln

Question

kann mir jemand bei diesen Aufgaben helfen:

Widerlegen sie folgende Rechenregeln, die beim Zahlenrechnen eine große Rolle spielen.

a) (a*b)^2=a^2*b^2

b) a*b=0 -> a=0 oder b=0

a und b sollen Vektoren sein (wusste nicht wie ich das mache hier)

 

Answer 1

Ein Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt immer eine Zahl (Skalar). Deswegen heißt es so.

zu b)

Ein Nullvektor mit einem anderen Vektor skalar multipliziert, ergibt immer die Zahl Null.

(0|0) * (4|5) = 0*4 + 0*5 = 0

zu a)

Wenn ich ein Skalarprodukt bilde a*b, bekomme ich eine Zahl heraus. Wenn ich diese quadriere, erhalte ich wieder eine Zahl. Insofern können als Ergebnis keine Vektoren erscheinen.

Comments

Es sollten doch Gegenbeispiele gefunden werden, du hast aber bei b) kein Gegenbeispiel hingeschrieben.

Und bei a) stehen doch auf beiden Seiten der Gleichung Zahlen (und keine Vektoren).

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(0|0) ist hier als Vektor gemeint, war zu faul den Formeleditor zu bemühen

laut Aufgabenstellung sollen a und b Vektoren sein?

kann auch sein, dass ich es total missverstanden habe. Dann möge man mir verzeihen

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Man soll ja die Rechenregel \(a\cdot b=0 \Rightarrow a=0 \text{ oder } b=0\) widerlegen. D.h. man sucht zwei Vektoren \(a\) und \(b\), die beide nicht der Nullvektor sind, aber trotzdem \(a\cdot b=0\) gilt.

Du hast ein Beispiel angegeben, bei dem diese Rechenregel stimmen würde.

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Ach so, das geht natürlich auch

Vektor a (0,1) und Vektor b(1,0), beide Vektoren zweidimensional

a*b = 0*1 + 1*0 = 0

Answer 2

Hier kann man sehr schön durch Gegenbeispiele widerlegen:

a)

Sei a = ( 2 | 3 ) und b = ( 4 | 5 )

Dann:

( a * b ) ²

= ( ( 2 | 3 ) * ( 4 | 5 ) ) ²

= ( 8 + 15 ) ²

= 23 ²

= 529

≠ 533

= 13 * 41

= ( 2 | 3 ) * ( 2 | 3 ) ) * ( ( 4 | 5 ) * ( 4 | 5 ) )

= a ² * b ²

 

b)

Sei a = ( 2 | - 1 ) und b = ( 2 | 4 )

Dann:

a * b = 2 * 2 + ( - 1 ) * 4 = 0 

aber: a ≠ ( 0 | 0 ) und b ≠ ( 0 | 0 )