Wahrscheinlichkeit.. Unterschied zwischen mit ''mit zurücklegen'' ''ohne zurücklegen''

Question

Frage zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Eine Urne enthält 4 weisse Kugeln, 3 blaue kugeln und 1 rote Kugel.

Wie oft muss ich aus der Urne eine Kugel mit zurücklegen ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine blaue Kugel ziehen, mindesten 80% beträgt?

Ansatz:

Stimmt das Folgende?

c) E = "mindestens 1 blaue Kugel"

P(mind. 1 blaue Kugel) = 80 %
P(keine blaue Kugel) = \( \left(\frac{5}{8}\right)^{n} \)
\( P(E) + P(E) \triangleq 100 \%=1 \)
\( Solve(1 - \left(\frac{5}{8}\right)^{n} = 0.8, ~n) = 3.42 \)

→ mind. 4 Mal

Answer 1

Hallo Johana,

 

wenn aus der Urne eine Kugel mit Zurücklegen gezogen wird, ändert sich die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine bestimmte Farbe hat, im nächsten Zug nicht!

 

Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel: 4/8

Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer blauen Kugel: 3/8

Wahrscheinlichkeit für das Ziehen der roten Kugel: 1/8

 

Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Ziehen keine blaue Kugel zu erwischen, beträgt 4/8 + 1/8 = 5/8

Die W., sowohl beim ersten als auch beim zweiten Ziehen keine blaue Kugel zu erwischen, beträgt 5/8 * 5/8 = (5/8)² = 25/64

usw.

Die Wahrscheinlichkeit, n mal hintereinander keine blaue Kugel zu ziehen, wird also für wachsendes n immer kleiner.

Uns interessiert, wann diese Wahrscheinlichkeit ≤ 20% beträgt, denn dann ist die W. für das Ziehen einer blauen Kugel ≥ 80%.

Also:

(5/8)ⁿ ≤ 0,2 | Ziehen des Logarithmus zur Basis 5/8

n ≥ ln(0,2)/ln(5/8)

ln(0,2)/ln(5/8) ≈ 3,42

Man muss also mindestens 4mal ohne Zurücklegen ziehen, um mit einer W. von ≥ 80% eine blaue Kugel zu ziehen.

Probe:

(5/8)³ = 0,244140625 | noch zu groß

(5/8)⁴ = 0,1525878906

Bei 4maligem Ziehen beträgt die W., mindestens eine blaue Kugel zu ziehen, also ca. 85%

 

Besten Gruß

Comments

Vielen Dank Bruce, weisst du was ich nicht verstehe.. ich würde sagen das n ist, wie oft Keine blaue kugel gezogen wird. 4 mal wird keine blaue kugel gezogen..

Verstehst du mein Gedankenfehler? Ich nicht ^^

Also
4 mal kann gezogen werden, damit keine blaue kugel gezogen wird

und x mal kann gezogen werden, damit mindestens eine kufel gezogen wird.

verstehst du was mich verwirrt?

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ich habe es jetzt ganz oft,oft  durchgelesen ^^

Also Könnte man sagen das man mind. 4 mal ziehen muss, weil in diesen 4 mal garantiert keine blaue kommen wird und sobald diese Möglichkeit weg ist... können die Blauen gezogen werden.. ? :D

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Nein, "garantiert keine blaue" stimmt natürlich nicht - wir können nichts garantieren, sondern nur Wahrscheinlichkeiten berechnen :-)

 

Vielleicht wird es so deutlicher: Wenn ich das Ziehen einer blauen Kugel als "b" bezeichne und das Ziehen einer andersfarbigen Kugel als "x", dann gibt es doch folgende 16 Möglichkeiten:

xxxx

xxxb

xxbx

xxbb

xbxx

xbxb

xbbx

xbbb

bxxx

bxxb

bxbx

bxbb

bbxx

bbxb

bbbx

bbbb

Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten beträgt 1, also die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis, denn eine dieser Reihenfolgen muss eintreten - etwas Anderes ist nicht möglich.

In allen Kombinationen außer xxxx kommt mindestens einmal b vor, also soll die Summe dieser Einzelwahrscheinlichkeiten ≥ 0,8 = 80% sein. Das heißt doch im Umkehrschluss, dass die Wahrscheinlichkeit für xxxx ≤ 0,2 = 20% sein muss.

Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit für xxxx?

5/8 * 5/8 * 5/8 * 5/8 = 625/4096 ≈ 0,1526 = 15,26% < 20%

Also ist die Gesamtwahrscheinlichkeit für die anderen Folgen (angefangen von 2. xxxb bis 16. bbbb) der "Rest" bis 100%, also ca. 100% - 15,26% = 84,74% > 80%

Genau das, was wir wollten.

 

Etwas klarer?