Socken der Schuhgröße 43 (28cm Fußlänge). Diese schrumpfen bei jeder Wäsche um 1%.

Question

Sie kaufen Socken der Schuhgröße 43 (28cm Fußlänge). Diese schrumpfen bei jeder Wäsche um 1%. Wie oft können sie waschen, wenn sie gerade noch Socken der Größe 41 (Länge 26cm) tragen können? Machen sie einen mathematischen Ansatz, Näherungen Werden nicht akzeptiert

Answer 1

Da es sich um einen exponentiellen Schrumpfungsvorgang handelt, kann man die Zinseszinsformel ansetzen, wobei hier nicht Anfangs- bzw. Endkapital K(0) bzw. K(n) sondern Anfang- bzw. Endfußlänge L ( 0 ) bzw. L ( n ) betrachtet werden: 

 L ( 0 ) * ( 1 + ( p / 100 ) ) ⁿ = L ( n )

Dabei soll laut Aufgabenstellung gelten:

L ( 0 ) = 28
L ( n ) ≥ 26
p = 1

also:

28 * ( 1 - 0,01 ) ⁿ ≥ 26

Nun ( 1 - 0,01 ) ⁿ durch 0,99 ⁿ ersetzen, die Gleichung durch 28 dividieren und den erhaltenen Bruch mit 2 kürzen:

<=> 0,99 ⁿ ≥ 26 / 28 = 13 / 14

Beide Seiten logarithmieren:

<=> log ( 0,99 ⁿ ) ≥ log ( 13 / 14 )

Logarithmusgesetz anwenden: log ( x ^a  ) = a * log ( x ) :

<=> n * log ( 0,99 ) ≥ log ( 13 / 14 )

Division durch log ( 0,99 ) . Da log ( 0,99 ) negativ ist, muss dabei das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden:

<=> n ≤ log ( 13 / 14 ) / log ( 0,99 )

Taschenrechner hernehmen und ausrechnen:

<=> n ≤ 7,3...

Man kann also höchstens 7 mal waschen.

Comments

Danke Mr.
Aber können Sie ihre Antwort noch detaillieren? sie haben hier sehr kompliziert erklärt.

danke

---

Hm, ich habe eigentlich fast gar nichts erklärt - und das Einzige, was ich erklärt habe, fand ich nun nicht so furchtbar kompliziert ...

Aber weil du es bist, habe ich meine Antwort noch einmal editiert und ein paar Erläuterungen hinzugefügt. Diese sind blau gesetzt.

---

 gibt es vielleicht einen anderen Rechenweg?

---

Nein, eher nicht, denn es handelt sich nun einmal um ein exponentielles Wachstum (bzw. eine exponentielle Schrumpfung) und die wird gerade durch die gezeigte Zinseszinsformel ausgedrückt.

Was gefällt dir denn nicht an dem gezeigten Weg?

---

Kann ich auch dieser Rechenweg anwenden?

28/100 . 26 = 7,3

---

Nein, bei diesem Rechenweg kommt nur rein zufällig ein ähnliches Ergebnis heraus. Ich könnte dir jede Menge anderer Rechenwege zeigen, bei denen ebenfalls ein ähnliches Ergebnis heraus kommt. Dennoch sind fast alle diese Rechenwege falsch. Richtig ist nur der Rechenweg, den ich in meiner Antwort gezeigt habe.

Prüfe mal, was passiert, wenn du in deiner Formel nicht 26 sondern 10 verwendest, wenn es also darum geht, herauszufinden, wie oft man waschen darf, bis die Socken nur noch eine Fußlänge von 10 cm haben?

Man sollte doch erwarten, dass man dann häufiger als 7 mal waschen darf, nicht wahr?

Deine Formel jedoch ergibt:

28 / 100 * 10 = 2,8

was ganz offensichtlich nicht stimmen kann.

Meine Formel hingegen ergibt:

n ≤ log ( 10 / 28 ) / log ( 0,99 ) ≈ 102,4

Answer 2

28 * 0.99^x = 26            |:28

0.99^x = 13/14

x = ln(13/14) / ln(0.99) = 7.374

Abrunden: Man kann 7 mal waschen.

(Würde man dagegen 8 mal waschen, wären die Socken schon zu klein.)

Comments

kann ich auch desen rechenweg anwenden?

28/100.26 = 7,3

---

Der Logarithmus sollte in deiner Rechnung vorkommen und 100.26 kannst du da nicht nehmen.

Alternative wäre höchstens

x = log(13/14) / log(0.99) = 7.374