Rechnen mit Summenzeichen

Question

Hab hier 2 Aufgaben zum rechnen mit Summenzeichen.

Das Prinzip habe ich verstanden für Grenzwertberechnungen usw. aber diese "einfachen" kürz-Aufgaben kriege ich nicht hin ^^

Ich kann die Aufgaben soweit auch aufschreiben aber beim Zusammenfassen zum Ergebnis verstehe ich nicht, wie das gelb unterstrichene dann zusammen kommt.

Also wie wird aus (n+1) - (n) = n+1 bei der ersten Aufgabe zBs.

AUFGABE 1: Berechnen Sie: \( \sum \limits_{k=0}^{n}(k+1)-\sum \limits_{k=1}^{n+1}(k-1) \)
$$ \begin{aligned} & \sum \limits_{k=0}^{n}(k+1)-\sum \limits_{k=1}^{n+1}(k-1) \\ =&(1+2+3+4+\ldots+(n+1))-(0+1+2+3+\ldots+n)=n+1 \end{aligned} $$
AUFGABE 1: Berechnen Sie: \( \sum \limits_{k=0}^{n}(k+1)-\sum \limits_{k=1}^{n}(k-1) \)
$$ \sum \limits_{k=0}^{n}(k+1)-\sum \limits_{k=1}^{n}(k-1) $$
$$ =(1+2+3+4+\ldots+(n+1))-(0+1+2+3+\ldots+(n-1))=n+(n+1)=2 n+1 $$

Answer 1

 

1. Aufgabe:

  0 + 1 + 2 + 3 + ... + n + n+1 | ich darf ja einfach eine 0 dazuaddieren, ohne etwas zu verändern

 -0 - 1 - 2 - 3 - ... - n

Die ersten n Glieder werden von der oberen Summe subtrahiert, es bleibt insgesamt nur n + 1

 

2. Aufgabe analog:

0 + 1 + 2 + 3 + ... + n-1 + n + n+1

-0 - 1 - 2 - 3 - ... - n-1

Nun wird von der oberen Summe alles bis einschließlich n-1 subtrahiert, es bleiben die letzen beiden Glieder n und n+1

übrig:

n + n+1 = n + n + 1 = 2n + 1

 

Besten Gruß