Eine Boje hat die Form eines Doppelkegels. Berechne die Größe der Fläche, die sich im Wasser befindet

Question

Komme vom Matheretter portal. Und bräuchte mal Hilfe von den Experten.

Die Aufgabe lautet:

Eine Boje hat die Form eines Doppelkegels.Sie ragt einen Drittel ihrer Gesamthöhe aus dem Wasser. (Maße eingezeichnet). Berechne die Größe der Fläche, die sich im Wasser befindet

 

Wie kann man da am besten vorgehen? Sinus, Cosinus? und was muss ich überhaupt berechnen.. - die Oberfläche?

Comments

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Ist eine dubiose Fragestellung.
Wenn ein Drittel aus dem Wasser ragt, dann ist es ein Drittel.
Das müsste aber eher ein Drittel des Volumens und nicht der Fläche sein.

Wo steht das genau? und was steht dort?

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@Lu

1/3 ragt aus dem Wasser.

Die Frage ist jedoch wie groß die Fläche ist die im Wasser ist. Und damit ist nicht "2/3" gemeint :-D

Answer 1

Gesucht ist der Mantelflächeninhalt eines geraden Kreiskegels der Höhe h_o , deren diametriale Mantellinien ein Winkel von 78 ° zueinander bilden. Dabei ist

h_o = ( 1 / 3 ) * h = ( 1 / 3 ) * 69 cm = 46 cm

gegeben.

 

Für den Mantelflächeninhalt A_M entnimmt man einer Formelsammlung:

A_M = r * s * π

Dabei ist:

r : Radius des Grundkreises des Kegels

s: Länge der Mantellinien des Kegels (Das sind die kürzesten Strekcen zwischen Grundkreisrand und Kegelspitze)

r , s und h_o  bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit s als Hypotenuse. Es gilt also:

1) tan ( alpha / 2 ) = r / h_o

<=> r = h₀ * tan ( alpha / 2  )

2) s ² = r ² + h_o²

<=> s = √ ( r ² + h_o² )

mit r = h₀ * tan ( alpha / 2  ) ergibt sich:

<=> s = √ ( ( h₀ * tan ( alpha / 2  ) ) ² + h_o² )

<=> s = √ ( h₀ ² * ( tan ( alpha / 2  ) ² + 1 )  )

<=> s = h₀ * √ ( ( tan ( alpha / 2  ) ² + 1 )  )

 

Nun kann man r und s in die oben violett gesetzte Foprmel für den Mantelflächeninhalt einsetzen und erhält:

A_M = r * s * π

= h₀ * tan ( alpha / 2  ) * h₀ * √ ( ( tan ( alpha / 2  ) ² + 1 )  ) * π

= h₀ ² * tan ( alpha / 2  ) * √ ( ( tan ( alpha / 2  ) ² + 1 )  ) * π

Mit h₀ und alpha = 78 ° ergibt sich daraus:

A_M = 46 ² * tan ( 39 ° ) * √ ( ( tan ( 39 ° ) ² + 1 )  ) * π

≈ 6926,79 cm ²