a²-x²=(a-x)(b+c-x) Quadratische Gleichung

Question

Mein Lösungsweg:

$$a²-x²=(a-x)(b+c-x)\\ (a-x)(a+x)=(a-x)(b+c-x)\quad |/(a-x)\\ \frac { (a-x)(a+x) }{ a-x } =(b+c-x)\\ a+x=b+c-x\quad |+x-a\\ 2x=b+c-a|/2\\ x=\frac { b+c-a }{ 2 } $$

Im Löser steht:
$${ x }_{ 1 }\quad =\quad a\\ { x }_{ 2 }=\frac { b+c-a }{ 2 } $$

Warum x = a?
Bitte um Lösungsweg. (Irgendetwas mit Wurzel?)

Answer 1

Hi,

das kannst Du direkt aus der zweiten Zeile auslesen. Da hast Du auf beiden Seiten den Faktor x-a. Wenn nun x = a ist, werden beide Seiten 0 sein ;).


Übrigens, bei der Division von x-a musst Du für diesen Schritt x = a sogar ausschließen ;).


Grüße

Comments

Danke für die Antwort.

Ich beschäftige mich gerade mit der Nullstellenbestimmung quadratischer Gleichungen.

Ungeachtet der quadratischen Gleichungen mit fehlendem Absolutglied - musste ich bisher bei rein quadratischen und gemischt quadratischen Gleichungen am Ende die Wurzel ziehen, sodass ich 2 Ergebnisse erhalte.

Hier ist das nicht der Fall. Ich wäre nie darauf kommen, dass es ein 2. Ergebnis gibt.

Deswegen würde ich gerne wissen, wie ich die Gleichung auflösen muss, damit am Ende x = a steht.

So wäre das für mich verständlich.

Einfacher:

Kann man die Ausgangsgleichung in die Normalform einer gemischt-quadtratischen Gleichung bringen?: x² + px + q = 0

Dann müsste ich die Wurzel ziehen.

 

"Da hast Du auf beiden Seiten den Faktor x-a. Wenn nun x = a ist, werden beide Seiten 0 sein "

Das verstehe ich.

Aber irgendwie erkenne ich den Zusammenhang trotzdem nicht.

 

.

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Das würde durchaus funktionieren, wäre aber bei weitem komplizierter als sich damit direkt wie gezeigt zu befassen ;).


a^2-x^2 = (a-x)(b+c-x)

a^2-x^2 = ab+ac-ax-bx-cx+x^2  |+x^2-a^2

2x^2+(a-b-c)x+(ab+ac-a^2) = 0


Nun noch durch 2 dividieren und Du kannst die pq-Formel ansetzen. Das wird aber, wie gesagt, relativ kompliziert ;).


Es ist sinnvoller hier eine Abart von "Satz vom Nullprodukt" zu verwenden. Ein Produkt ist dann 0, wenn es mindestens ein Faktor ist. Offensichtlicher zu sehen vielleicht auch.

a^2-x^2 = (a-x)(b+c-x)    |-(a^2-x^2)

(a-x)(b+c-x) - (a-x)(a+x) = 0

(a-x) * ((b+c-x) - (a+x)) = 0


So vielleicht verständlicher? ;)

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Ich habe das zur Übung nachgerechnet und ich denke hier 

2x²+(a-b-c)x+(ab+ac-a²) = 0

lieber die ABC-Formel zu verwenden, sonst habe ich durch die Division mit  2 noch Doppelbrüche in der pq-Formel stehen. Das ist ja so schon kompliziert genug.

Danke dafür, aber ich lass das doch, wenn das so ablesbar da steht.

 

Ich verstehe jetzt was du meinst.

Ich habe geschrieben:

"Ungeachtet der quadratischen Gleichungen mit fehlendem Absolutglied - musste ich bisher bei rein quadratischen und gemischt quadratischen Gleichungen am Ende die Wurzel ziehen, sodass ich 2 Ergebnisse erhalte."

Stichwort: "quadratischen Gleichungen mit fehlendem Absolutglied"
x² + x = 0

x(x+1) =  0

"nun wird ein Produkt nur dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist, also muss gelten":

x2 = 0

x1 = - 1

Ist das der "Satz vom Nullprodukt" ? (Denn so wird er nicht in meinem Buch deklariert)

Dann ist das hier auch der Fall (quadratischen Gleichungen mit fehlendem Absolutglied), nur mit dem a nicht sofort eindeutig, oder?

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Hi,

das ist soweit alles richtig, bis auf die Aussage, dass es kein Absolutglied geben sollte (bei unserer Aufgabe). Du kannst auch mit Absolutglied Faktoren bestimmen.

Beispielsweise:

x^2-x-6 = (x-3)(x+2)

 

Also Du hast ein Absolutglied, kannst aber dennoch faktorisieren und den Satz vom Nullprodukt anwenden ;). Allerdings ist es üblich für x^2-x-6=0 die pq-Formel zu verwenden und dann (falls gefordert/gewünscht) das in Linearfaktoren auszudrücken.

Wenn kein Absolutglied vorhanden ist, dann, so hast Du recht, kann man ganz einfach x ausklammern und dann den Satz des Nullprodukts anwenden. Ohne Umweg bzgl. pq-Formel ;).