Die Glaspyramide Aufgabe!Das

Question

Geg.: O= 138 cm^2 hs= 8, 5 cm a) Zeichne eine Skizze des Körpers b) Berechne die Kantenlänge a und das Volumen c) Berechne die Masse der Pyramide, wem die Dichte vom Glas 2, 7 g/cm^3

Answer 1

Wenn von einer bzgl. ihrer Form nicht näher qualifizierten Pyramide die Rede ist, dann ist in der Regel eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche gemeint. Davon gehe ich bei meiner Antwort aus.

a)

Hier zunächst eine Skizze:

b)

Die Oberfläche einer solchen Pyramide setzt sich zusammen aus ihrer quadratischen Grundfläche mit der Seitenlänge a und 4 gleichschenkligen Dreiecken der Höhe h_s ,deren jeweilige Basis eine der Seiten a ist. 

Eine quadratische Fläche mit der Seitenlänge a hat den Flächeninhalt

A_Q= a ²

Ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis a und der Höhe h_s hat den Flächeninhalt

A_Dr = a * h_s / 2

Für den Oberflächeninhalt O einer Pyramide gilt also:

O = A_Q + 4 * A_Dr = a ² + 4 * a * h_s / 2

= a ² + 2 * a * h_s

Es soll gelten:

O = 138 cm ²

also:

a ² + 2 * a * h_s = 138

<=> a ² + 2 * a * h_s + h_s² = 138 + h_s²

<=> ( a + h_s ) ² = 138 + h_s²

<=> a + h_s = √ ( 138 + h_s² )

<=> a = √ ( 138 + h_s² ) - h_s

Mit h_s = 8,5 cm ergibt sich:

a = √ ( 138 + 8,5 ² ) - 8,5 = 6 cm (genau)

Die Kantenlänge a beträgt also 6 cm

 

Eine Pyramide mit der Kantenlänge a und der Seitenflächenhöhe h_s hat nach Pythagoras eine Körperhöhe h von:

h = √ ( h_s² - ( a / 2 ) ² )

= √ ( 8,5 ² - 3 ² )

≈ 7,95 cm

Gemäß der Formel

V_Pyr = ( 1 / 3 ) * G * h

mit G = a ² = 36 cm ² und h = 7,95 cm

ergibt sich das Volumen der hier betrachteten Pyramide zu::

V_Pyr = ( 1 / 3 ) * 36 * 7,95 = 95 ,4 cm ³

 

c)

Bei einer Dichte von ρ = 2,7 g/cm³ hat diese Pyramide eine Masse von

M = V * ρ = 95,4 * 2,7 = 257,58 g