Umkehrfunktion von f(x)=5x+cos(Pi*x)?

Question

Mein Problem liegt darin, dass man für die in der Frage aufgestellten Funktion rein logisch, für natürliche Zahlen folgende Umkehrfunktion annehmen würde:

$$x=\frac { f(x)+cos(\pi f(x)) }{ 5 }$$

Denn: Ist x gerade, so ergibt sich cos(pi*x)=1 und somit:

$$f(x)=5x+1\quad \Leftrightarrow \quad x=\frac { f(x)-1 }{ 5 }$$

Für x ungerade:

$$f(x)=5x-1\quad \Leftrightarrow \quad x=\frac { f(x)+1 }{ 5 }$$

Ist x gerade, so ist f(x) ungerade und andersherum. Also +1 für f(x) gerade, -1 für f(x) ungerade, das entspricht wiederum cos(Pi*f(x)).


Probiert man das ganze nun für rationale Zahlen aus, stellt diese Vermutung jedoch als falsch heraus. Nun frage ich mich 1) wo der Fehler in der Schlussfolgerung liegt und 2) wie nun die wirkliche Umkehrfunktion aussehen könnte (durch den Faktor 5 hat f an jeder Stelle nur 1 Lösung, es müsste also eine eindeutige Umkehrfunktion geben)?

Answer 1

Hi, diese Funktion hat keine Umkehrfunktion, außer Du schränkst den Definitionsbereich ein. Voraussetzung für die Existenz einer Umkehrfunktion ist, dass die Originalfunktion injektiv ist. Da der Kosinus aber eine periodische Funktion ist, ist sie nicht injektiv und deshalb gibt es auch keine inverse Funktion zu f(x), und das hängt nicht mit natürlichen oder rationalen Zahlen zusammen.

Comments

warum berücksichtigst du den Summanden 5x nicht ?

Answer 2

Nach https://www.wolframalpha.com/input/?i=5x%2Bcos%28pi*x%29+ ist f als reelle Funktion bijektiv, hat also eine Umkehrfunktion. Nur ist es nicht so, dass man dies Umkehrfunktion auch "schön" hinschreiben kann. Das ist hier wohl der Fall.