Taylor Restglied. Ich verstehe diese Aufgabe nicht. Kann mir das bitte jemand erklären?

Question

lim_n->∞ R_n(x)=0 für die Taylor-Entwicklung der Funktion x->e^x

Für das Restglied der Taylorenentwicklung der Funktion f mit f(x)= e^x gilt:

R_n(x)=(1/n!)*∫₀^x (x-t)ⁿ*e^t dt

Wir schätzen |R_n(x)|=|∫₀^x(x-t)ⁿ/(n!)*e^tdt| ab. Nun gilt:

∫_a^b f(x)dx≤∫_a^b|f(x)|dx≤M*(b-a) wobei |f(x)|≤M für alle x∈[a;b]

und dann wir es noch komplizierter.

Leider verstehe ich das nicht.

 

Diese Formel steht im Buch: 

mit R_n(x)= 1/n! *∫_x0^x(x-t)ⁿ*f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt

 

also die andere Formel für die Nährungsfunktion kann ich...

Answer 1

Hi,
ich versteh Deine Frage nicht ganz. Weisst Du nicht wie die Formel für das Restglied abgeleitet wird oder warum die Integralabschätzung gilt. Was ist das Ziel der Aufgabe?

Also das \( \int_a^bf(x)dx\le \int_a^b|f(x)|dx \) ist klar, da \(|f(x|)\ge f(x)\) gilt. Daraus folgt sofort, dass \( \int_a^bf(x)dx\le M(b-a) \) falls \( |f(x)|\le M\) für alle x.

Comments

Hi Ullim

ich verstehe 1. nicht wieso da ein Integralzeichen ist und warum ≤ da ist und warum was ist dieses große M?

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Das Integralzeichen kommt aus der Restgliedformel in Integralform. Das große M ist der maximale Wert, den die Funktion f(x) annehmen kann. Damit kann man im Integral den Funktionswert von f(x) durch M nach oben abschätzten. Der Wert M Ist dann konstant und kann vor das Integral gezogen werden.