Zeige, dass sich das Restglied Rn(x) für die Taylor-Entwicklung von f(x)= e^x an der Stelle x0=0 gilt:..

Question

Zeige, dass für das Restlglied R_n(x) für die Taylor Entwicklung von f(x)= e^x an der Stelle x₀=0 gilt:
(Anleitung: Für 0≤t≤x gilt: 1≤e^t≤e^x)

(xⁿ⁺¹)/(n+1)!≤ 1/n! ∫₀^x (x-t)ⁿ*e^t dt  ≤ e^x (xⁿ⁺¹)/(n+1)!

 

Wie soll denn diese Aufgabe gehen? kann das jeman komplitt mit ALLEN Rechenschritten bitte vorrechen? Und dabei erklären? Man soll doch hier etwas beweisen oder nicht?

Vollständige...Indukt...??

Answer 1

Hi,

das Restglied ist ja in dem Link hier erklärt, hatte ich ja schonmal gewschrieben

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel

Jetzt geht es um die Abschätzung

$$ (1)\quad \frac{1}{n!}\int_0^x(x-t)^ne^tdt $$ wobei \( e^t \) die n-te Ableitung vonder Funktion \(e^t\) ist. Da \(e^t\) monoton wachsend ist, gilt \(e^t\le e^x\) und man kann das Restglied wie folgt abschätzten
$$ \quad \frac{1}{n!}\int_0^x(x-t)^ne^tdt \le \quad \frac{e^x}{n!}\int_0^x(x-t)^ndt $$ das Integral kann man jetzt inegrieren und dann hast Du die Abschätzung nach oben. Genauso geht es anders herum, da schätzt Du \(e^t\) durch \(e^0=1\) ab.

Comments

Hi Ullim

Danke für deine Hilfe!

e^t und e^x ist doch das selbe oder nicht? Also das ist doch nur eine andere Variable im Exponenten oder nicht?

Und könntest Du es mir mal bitte komplett vorrechnen? Da ich das zum ersten mal mache... weiß ich leider nicht, wie ich das angehen soll :(

Da sind sooooo viele Buchstaben und keine Zahlen ^^