beweis Allquantoren, Fallunterscheidung

Question

Für beliebige verschiedene positive rationale Zahlen q und r liegt die Zahl r stets zwischen q und r^2/q.Beweisen Sie dann möglichst formal, dass der Satz wahr ist

Answer 1

sei zuerst $q < r$. Dann ist zu zeigen $r < \frac{r^2}{q}$. Da $r$ und $q$ positiv sind, kann man $q < r$ mit $r$ multiplizieren und durch $q$ teilen und erhält die Aussage $r < \frac{r^2}{q}$. (Gemäß Voraussetzung gilt $q < r$, also insgesamt $q < r < \frac{r^2}{q}$)

Die Annahme $q < r$ geschah offenbar schon ohne Beschränkung der Allgemeinheit, denn nimmt man $q > r$ an, so gelten in der Beweisführung dieselben Rechenregeln für positive Ausdrücke in Ungleichungen wie für $q < r$. (Man kann also im ersten Absatz "<" einfach durch ">" ohne Einschränkung ersetzen.)

MfG

Mister