beweis Allquantoren, Fallunterscheidung

Question

Für beliebige verschiedene positive rationale Zahlen q und r liegt die Zahl r stets zwischen q und r^2/q.Beweisen Sie dann möglichst formal, dass der Satz wahr ist

Answer 1

sei zuerst \( q < r \). Dann ist zu zeigen \( r < \frac{r^2}{q} \). Da \( r \) und \( q \) positiv sind, kann man \( q < r \) mit \( r \) multiplizieren und durch \( q \) teilen und erhält die Aussage \( r < \frac{r^2}{q} \). (Gemäß Voraussetzung gilt \( q < r \), also insgesamt \( q < r < \frac{r^2}{q} \))

Die Annahme \( q < r \) geschah offenbar schon ohne Beschränkung der Allgemeinheit, denn nimmt man \( q > r \) an, so gelten in der Beweisführung dieselben Rechenregeln für positive Ausdrücke in Ungleichungen wie für \( q < r \). (Man kann also im ersten Absatz "<" einfach durch ">" ohne Einschränkung ersetzen.)

MfG

Mister