Partielle Ableitungen 1. Ordnung bilden

Question

Aufgabe über partielle Ableitungen:

Bilden Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung (je zwei!) der folgenden Funktionen:

\( (\mathrm{Bsp}) \quad g(u, v)=u^{2}+4 u v+v^{2} \)

(a) \( f(x, y)=a x+b y \)

(b) \( \quad P(i, j)=e^{i+j}+c \)

(c) \( z(\omega, \phi)=\sin (2 \omega-\phi) \)

(d) \( h\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left[1-\sin \left(x_{1}\right)\right] \sin \left(x_{2}\right) \)


Ich habe folgende Lösungen, die korrigiert werden müssen:

\( (a) \)
\( f(x, y)=a x+b y \)
\( f_{x}(x, y)=a \)
\( f_{y}(x, y)=b \)
\( f_{x x}(x, y)=a \)
\( f_{x y}(x, y)=b \)
(b) \( P(i, j)=e^{i+j}+c \)
1. und 2. Ableitung:
\( e^{x+y} \)
(c) \( z(\varpi, \phi)=\sin (2 \varpi-\phi) \)
Ableitungen:
\( -\sin (\phi-2 \varpi) \)
\( -\cos (\phi-2 \varpi) \)
\( \sin (\phi-2 \varpi) \)
(d) \( h\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left[1-\sin \left(x_{1}\right)\right] \sin \left(x_{2}\right) \)
Ableitungen:
\( \left(1-\sin \left(x_{l}\right)\right) \cdot \sin \left(x_{2}\right) \)
\( \left(1-\sin \left(x_{1}\right)\right) * \cos \left(x_{2}\right) \)
\( -\left(1-\sin \left(x_{l}\right)\right)^{*} \sin \left(x_{2}\right) \)

Answer 1

(a)Die Ableitung erster Ordnung sind richtig, die zweiter Ordnung (warum auch immer du sie hingeschrieben hast) sind falsch, sie sind jeweils 0. (b)Das sind Funktionen in i und j. Die part. Ableitungen sind dementsprechend in i und j zu bilden. (c),(d) Wieso stehen da drei Terme. Es steht doch explizit in der Angabe, dass zwei Ableitungen zu bilden sind. Bei der c) ist die Ableitung in omega nicht dabei (nachdifferenzieren!).

Comments

Hier ist meine Korrektur. Wenn etwas nicht stimmen sollte, dann kannst du mir Bescheid geben:

\( (a) \)
\( f(x, y)=a x+b y \)
\( f_{x}(x, y)=a \)
\( f_{y}(x, y)=b \)
\( f_{x x}(x, y)=0 \)
\( f_{x y}(x, y)=0 \)
(b) \( P(i, j)=e^{i+j}+c \)
1. und 2. Ableitung:
\( e^{i+j} \)
(c) \( z(\varpi, \phi)=\sin (2 \varpi-\phi) \)
Ableitungen:
\( 2 \cos (2 x-y) \)
\( -4 \sin (2 x-y) \)
\( (d) \)
\( h\left(x_{l}, x_{2}\right)=\left[1-\sin \left(x_{1}\right)\right] \sin \left(x_{2}\right) \)
Ableitungen:
\( \left(1-\sin \left(x_{l}\right)\right) * \sin \left(x_{2}\right) \)
\( \left(1-\sin \left(x_{l}\right)\right) \times \cos \left(x_{2}\right) \)

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Es stimmt mehr als vorher, aber noch nicht alles. Außerdem hab' den starken Verdacht, dass du nicht wirklich weist was eine Ableitung erster Ordnung ist. Ist sind hier nirgends 2. Ableitungen zu berechnen. Bei der a) sind die ABleitung richtig, nach den letzten zwei wurde allerdings nicht gefragt. Bei der b) ist der Term sowohl die Ableitung nach i als auch nach j. Bei der c): Du drafst nicht anfach so die Variablen umbennen, du musst schon die originalen Namen beibehalten. Hier hast du \(z_\omega\) und \(z_{\omega \omega} \) berechnet, gefragt sind aber \(z_\omega\) und \(z_{\phi} \). d) Beim ersten term hast du überhaupt nichts getan. Generell wär es sehr sinnvoll nicht einfach terme hinzuklatschen, sondern auch zu schreiben was das für terme sein sollen, wie in der a).