Aloha :)
Bei der ersten Funktion muss \(y\ge0\) sein, damit die Wurzel definiert ist, und es muss zusätzlich \(\ne0\) sein, da sonst durch \(0\) dividiert werden würde.$$f(x,y)=|x|+\frac{1}{\sqrt y}=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{\sqrt y} &;& x\ge0\\-x+\frac{1}{\sqrt y} &;& x<0\end{array}\right.\quad;\quad D=\mathbb{R}\times\mathbb{R^{>0}}$$
Partielle Ableitungen 1-ter Ordnung:
Der Betrag \(|x|\) ist an der Stelle \(x=0\) nicht differenzierbar (dort liegt eine "Spitze" mit Steigung -1 und Steigung 1 vor). Daher gilt für die partielle Ableitung nach \(x\):$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\left\{\begin{array}{r}1 &;& x>0\\-1 &;& x<0\end{array}\right\}=\text{sign}(x)\quad;\quad D=\mathbb{R^{\ne0}}\times\mathbb{R^{>0}}$$Die partielle Ableitung nach \(y\) ist problemlos:$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(|x|+y^{-1/2}\right)=-\frac{1}{2}y^{-3/2}=-\frac{1}{2y\sqrt y}\quad;\quad D=\mathbb{R}\times\mathbb{R^{>0}}$$
Partielle Ableitungen 2-ter Ordnung:$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)=0\quad;\quad D=\mathbb{R^{\ne0}}\times\mathbb{R^{>0}}$$$$\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{2}y^{-3/2}\right)=-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)y^{-5/2}=\frac{3}{4y^2\sqrt y}\quad;\quad D=\mathbb{R}\times\mathbb{R^{>0}}$$$$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x,y)=0\quad;\quad D=\mathbb{R^{\ne0}}\times\mathbb{R^{>0}}$$$$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)=0\quad;\quad D=\mathbb{R}\times\mathbb{R^{>0}}$$Beachte bitte den feinen Unterschied bei den gemischten patiellen Ableitungen 2-ter Ordung. Obwohl beide gleich \(0\) sind, unterscheiden sich die Ableitungen in ihren Definitionsbereichen. \(\frac{\partial f}{\partial x}\) ist für \(x=0\) nicht definiert, daher ist die Ableitung \(\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\) ebenfalls für \(x=0\) nicht definiert.
Die zweite Funktion benötigt keinerlei Fallunterscheidung. Die Funktion und alle ihre Ableitungen sind auf ganz \(\mathbb{R^2}\) definiert:$$f(x,y)=e^{-x^2+y^2}\quad;\quad D=\mathbb{R^2}$$
Partielle Ableitungen 1-ter Ordnung:
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{-x^2+y^2}\cdot(-2x)=-2xe^{-x^2+y^2}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{-x^2+y^2}\cdot(-2y)=-2ye^{-x^2+y^2}$$
Partielle Ableitungen 2-ter Ordnung:
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-2e^{-x^2+y^2}-2xe^{-x^2+y^2}(-2x)=(4x^2-2)e^{-x^2+y^2}$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=-2e^{-x^2+y^2}-2ye^{-x^2+y^2}(-2y)=(4y^2-2)e^{-x^2+y^2}$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=-2xe^{-x^2-y^2}\cdot(-2y)=4xye^{-x^2-y^2}$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=-2ye^{-x^2-y^2}\cdot(-2y)=4xye^{-x^2-y^2}$$
