Die Funktion f:(-1| ∞ ) -> IR sei gegeben durch f(x)= x/1+x...

Question

Die Funktion  f:(-1|∞) →ℝ sei gegeben durch f(x)= x/1+x

a) Man berechne das Taylorpolynom 2. Gerades mit Entwicklunspunkt x₀=2 und schätze das Restglied auf dem Interval [1,3] ab.

b) Man finde die allgemeine Formel für dien-te Ableitung vonfund beweise diese mittelsvollständiger Induktion.

 

Also die a) kann ich. Also nur mit dem Taylorpolynom. Aber das Restglied kann ich nicht und sowie bei b) brauche ich auch Hilfe... also wäre nett wenn ihr mir helfen könntet :)

Comments

Hallo Emre,

f(x)= x/1+x = x + x = 2x macht nicht wirklich Sinn für eine Taylorentwicklung.

Meinst du vielleicht:

f(x)= x/(1+x) ?

---

Hi lu Ja das meinte ich:)

Answer 1

f ( x ) = x / ( x +1 )

f ' ( x ) = 1 / ( x + 1 ) ²

f ' ' ( x ) = - 2 / ( x + 1 ) ³

f ' ' ' ( x ) = 6 / ( x + 1 ) ⁴

Daraus ergibt sich für das Taylorpolynom zweiten Grades von f ( x ) an der Entwicklungsstelle a = 2 :

T₂ f ( x ; 2 ) = f  (2 ) + f ' ( 2 ) * ( x - 2 ) / 1 ! + f ' ' ( 2 ) ( x - 2 ) ² / 2 !

= ( 2 / 3 ) + ( 1 / 9 ) * ( x - 2 ) / 1 + ( - 2 / 27 ) * ( x - 2 ) ² / 2 

= ( 2 / 3 ) + ( 1 / 9 ) x - ( 2 / 9 ) - ( 1 / 27 ) * x ² + ( 4 / 27 ) x - ( 4 / 27 )

= ( - 1 / 27 ) x ² + ( 7 / 27 ) x + ( 8 / 27 )

 

Zur Abschätzung des Restgliedes R_n f ( x ; a )  findet man im Wikipedia-Artikel zum Stichwort "Taylor-Formel"

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedformeln

im Abschnitt "Restgliedabschätzung":

Gilt | f ⁽ⁿ⁺¹⁾( x ) | ≤ M_n für alle x ∈ ( a - r , a + r ) , so gilt für das Restglied die Abschätzung:
∀x ∈ ( a - r , a + r ) : | R_n f ( x ; a ) | ≤ (...) ≤ M_n ( r ⁿ⁺¹ / ( n + 1 ) ! )

Wenn es also im Intervall ( a - r , a + r ) eine obere Schranke M₂ für den Betrag der Funktionswerte der dritten Ableitung von f gibt , dann kann das Restglied mit der in der zweiten Zeile gezeigten einfachen Formel abgeschätzt werden.

Vorliegend ist n = 2 und es gibt für f ⁽ⁿ⁺¹⁾ ( x ) = f ⁽³⁾ ( x ) = 6 / ( x + 1 ) ⁴

im Intervall ( a - r , a + r ) = ( 2 - 1 , 2 + 1 ) = ( 1 , 3 )

( r = 1) eine solche obere Schranke M₂ . Da nämlich f ⁽³⁾ ( x ) monoton fallend ist, ist diese obere Schranke M₂ gleich dem Funktionswert von f ⁽³⁾ ( x ) an der Stelle x = 1 , also:
M₂ =  f ⁽³⁾ ( 1 ) = 6 / 16 = 3 / 8 .

Somit gilt für die Abschätzung des Restgliedes:

| R₂ f ( x ; a ) | ≤ M₂ ( r ²⁺¹ / ( 2 + 1 ) ! ) = ( 3 / 8 ) * ( 1 ³ / 3 ! ) = 3 / 48 = 1 / 16

 

b)

Schaut man sich die ersten Ableitungen von f ( x ) an:

f ( x ) = x / ( x +1 )

f ' ( x ) = 1 / ( x + 1 ) ²

f ' ' ( x ) = - 2 / ( x + 1 ) ³

f ' ' ' ( x ) = 6 / ( x + 1 ) ⁴

f ⁽⁴⁾ ( x ) = - 24 / ( x + 1 ) ⁵

f ⁽⁵⁾ ( x ) = 120 / ( x + 1 ) ⁶

so kann man vermuten, dass gilt:

f ⁽ⁿ⁾ ( x ) = ( - 1 ) ^{n + 1} * n ! / ( x + 1 ) ^{n + 1}

Dies ist nun durch vollständige Induktion zu zeigen:

Für n₀ = 1 gilt:

f ⁽¹⁾ ( x ) = 1 / ( x + 1 ) ² =  ( - 1 ) ^{1 + 1} * 1 ! / ( x + 1 ) ^{1 + 1} = 1 * 1 / ( x + 1 ) ² = 1 / ( x + 1 ) ²

das passt also.

Gelte nun für festes n ≥ n₀ (Induktionsvoraussetzung):

f ⁽ⁿ⁾ ( x ) = ( - 1 ) ^{n + 1} * n ! / ( x + 1 ) ^{n + 1}

dann ist zu zeigen, dass dann auch gilt:

f ⁽ⁿ⁺¹⁾ ( x ) = ( - 1 ) ^{n + 2} * ( n + 1 ) ! / ( x + 1 ) ^{n + 2}

Beweis:

f ⁽ⁿ⁺¹⁾ = [ f ⁽ⁿ⁾ ( x ) ] '

Induktionsvoraussetzung einsetzen:

= [ ( - 1 ) ^{n + 1} * n ! / ( x + 1 ) ^{n + 1} ] '

als Produkt schreiben zur Anwendung der Produktregel

= [ ( - 1 ) ^{n + 1} * n ! * ( x + 1 ) ^{- ( n + 1 )}  ] '

Anwendung der Produktregel:

= ( - 1 ) ^{n + 1} * n ! * ( - ( n + 1 ) ) * ( x + 1 ) ^{- ( n + 1 ) - 1}

Zusammenfassen:

= ( - 1 ) ^{n + 1} * ( - 1 ) * n ! * ( n + 1 ) * ( x + 1 ) ^{- ( n + 2 )}

= ( - 1 ) ^{n + 2} * ( n + 1 ) ! / ( x + 1 ) ^{( n + 2 )}

q.e.d.

Comments

Hi JotEs :)

woow Danke für diese Tolle Antwort!!! Da bekommst Du direkt den Stern und einen Pluspunkt :)

!!


Ich verstehe aber leider das mit dem Restglied nicht. Ullim hatte mir den Artikel von Wiki auch schon geschickt, aber ich verstehe es auf Wiki nicht :(