Question

Gegeben ist die Funktion f(x)= ln(x). Entwickle f nach dem Satz von Taylor in eine Potenzreihe mit den Entwicklungspunkt a=1

f(x)≈ f(x₀)+f'(x₀)/1!(x-x₀)+f''(x₀)/2!(x-x₀)²+f'''(x₀)/3!(x-x₀)₃.... ∑_n=0ⁿfⁿ/n!(x-x₀)

f(x)= ln(x) =0

f'(x)= x^-1 = 1

f''(x)= -x^-2 = -1

f'''(x)= 2x^-3 = 2

f''''(x)= -6x^-4 = -6

f'''''(x) 24x^-5 =24

Σ (k bis ∞) und jetzt? (Hab mit der Summenformel immer Probleme:( )

Answer 1

Die Taylorformel lautet

T(x) = f(1)/0!*(x - 1)^0 + f'(1)/1!*(x - 1)^1 + f''(1)/2!*(x - 1)^2 + f'''(1)/3!*(x - 1)^3 + f''''(1)/4!*(x - 1)^4

Nun setzt du einfach ein 

T(x) = 0 + (x - 1) - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/3 - (x - 1)^4/4 + ...

Comments

Hi mathecach Danke für deine Hilfe. Leider verstehe ich das noch nicht mit der Summenformel...:( Ich versuch dss morgen nochmal

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Ich habe oben kein Summenzeichen verwendet. Extra damit du es besser verstehst.

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Ja ohne Summenzeichen verstehe ich das ja. Sas habe ich ja auch bei der vorletzten Aufgabe richtig gemacht oder nicht? :) Ich wollte es halt auch mal mit der yummenfornel :)

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Wenn du jetzt das Taylorpolynom hast

T(x) = 0 + (x - 1) - (x - 1)²/2 + (x - 1)³/3 - (x - 1)⁴/4 + ...

Dann schaust du an was sich von Summand zu Summand ändert und was gleich bleibt.

Ich sehe das (x - 1) immer gleich bleibt. Das sich der Exponent immer um 1 erhöht und das ich immer durch den Exponenten teil. Daher vermutet man eine Summenformel

Σ (k = 1 bis unendlich) (- 1)^{k + 1} * (x - 1)^k / k

Setz also mal bei (- 1)^{k + 1} * (x - 1)^k / k für k aufsteigend werte ab 1 ein und schau ob da die richtigen Summanden rauskommen.

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Danke für deine Erklärung ich mach das Morgen. Nur noch eine Sache: k=1 aber wieso nicht k=0??

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hätte man auch machen können

Σ (k = 0 bis unendlich) (- 1)^k * (x - 1)^{(k + 1)} / (k + 1)

Aber so sieht die Formel unter der Summe ja nicht ganz so hübsch aus.