Wie schreibe ich hier die vollständige Induktion auf? 1+q+q^2+…+q^n = …

Question

Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für q ≠ 1 gilt

$$ \sum _ { k = 0 } ^ { n } q ^ { k } = \frac { q ^ { n + 1 } - 1 } { q - 1 } $$

für alle n ≥ 0.

Bitte um eine vollständige Lösung.

Answer 1

Induktionsanfang: Sei q≠1, n=0:

q⁰ = 1 = (q-1)/(q-1), ist erfüllt.

Induktionsschritt: Sei die Aussage nun für n erfüllt, das heißt es sei (für ein beliebiges q≠1)

1+q+q²+...+qⁿ = (qⁿ⁺¹-1)/(q-1)

Zu zeigen ist dann:

1+q+q²+...+qⁿ+qⁿ⁺¹= (qⁿ⁺²-1)/(q-1)

Starten wir mal mit der linken Seite und setzen die InduktionsVoraussetzung ein:

1+q+q²+...+qⁿ+qⁿ⁺¹ = (qⁿ⁺¹-1)/(q-1)+qⁿ⁺¹

Erweitere, um beide Summanden auf den gleichen Nenner zu bringen:

= (qⁿ⁺¹-1)/(q-1) + (qⁿ⁺²-qⁿ⁺¹)/(q-1) = (qⁿ⁺²-1)/(q-1)

was zu beweisen war.

Also gilt die Aussage für alle n≥0.

Comments

Ist das die Lösung?