Grenzwerte berechnen, wenn x gegen unendlich strebt. lim ( (3x^2 + x -1 ) / (x^2 + 1))

Question

Hallo Community,

wie ich Grenzwerte berechne bei denen x gegen einen bestimmten Wert läuft (sei es von links oder rechts) ist mir bewusst. 

Nun gibt es ja noch die zwei Fälle das x gegen ∞ und gegen -∞ strebt. Theoretisch könnte ich die Funktion einfach so wie sie ist in meinen Taschenrechner eingeben und für x entweder große negative oder große positive Werte einsetzen und habe so meinen Grenzwert. Nun möchte ich das ganze aber auch rechnerisch lösen können.

Mit Hilfe eines Youtube Videos https://www.youtube.com/watch?v=6V13YiuJ-nc

habe ich mir das Lösungsschema angeeignet, bei dessen Anwendung ich aber noch ein paar Probleme habe.

In dem Video wird gesagt man müsse sich nur den Term mit der höchsten Potenz anschauen und muss den Rest überhaupt nicht beachten. Kann ich bei allen Funktionen deren Verhalten ich im unendlichen untersuchen soll so vorgehen? Er  bekommt bei allen drei Varianten + oder -∞ als Ergebnis heraus. Heißt das, dass die Funktion keinen Grenzwert hat, bzw. dieser nicht definiert ist? 

Wenn ich zum Beispiel folgende Funktion auf ihr Verhalten untersuchen soll, wenn x gegen ∞ strebt:

$$\frac { 3{ x }^{ 2 }+x-1 }{ x^{ 2 }+1 }$$

Wäre die höchste Potenz im Zähler 3x^2 und im Nenner x^2 

Somit habe ich dann $$\frac { 3{ x }^{ 2 } }{ x^{ 2 } }$$

Dann kann ich x^2 kürzen und erhalte 3. 3 ist also der Grenzwert der Funktion, wenn x gegen ∞ strebt. 

Ist mein Vorgehen soweit korrekt?

Answer 1

Ja das ist soweit korrekt und kommt richtig raus.

In der Regel teilt man aber oben und unten durch x^2.

Bitte xgegenunendlich unter lim schreiben und richtige Brüche abschreiben.

lim ( (3x^2 + x -1 ) / (x^2 + 1))         
= lim ((3 + 1/x - 1/x^2)/( 1 + 1/x^2))    | im Grenzwert gehen die 'kleinen' Brüche gegen 0.

= 3/1 = 3

Comments

Danke :) Der Grenzwert existiert also nicht, bzw. ist nicht näher definiert wenn er ∞ oder -∞ ist.

Wenn ich die Funktion dann vereinfacht habe und bspw. -x/1 habe, setze ich einfach gedanklich eine große positive oder negative Zahl ein (je nachdem wofür ich die Funktion überprüfen soll) und kann so den limes bestimmen?

$${ lim }_{ x->\infty  }=\frac { x-3 }{ { x }^{ 2 }+1 }$$

Würde nach vereinfachen x/x^2 ergeben. Nach Kürzen dann x?

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x/x^2 kürzen ergibt 1/x → 0 für x gegen unendlich.

Ganze Rechnung ('x-> unendlich' selbst unter den lim schreiben.

lim ((x-3)/(x^2 + 1) 

= lim ((x/x^2 - 3/x^2)/(x^2/x^2 + 1/x^2)

= lim ((1/x - 3/x^2) / ( 1 + 1/x^2))

= (0 + 0)/(1+0) = 0/1 = 0

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Stimmt, blöder Flüchtigkeitsfehler.

Sehe ich das richtig, dass das Vorgehen immer dasselbe ist? Man vereinfacht die Funktion so weit es geht und setzt dann den limes ein? Also nicht ∞ sondern eine möglichst große Zahl.

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Vermutlich meinst du das Richtige. Ich ändere mal an deinem Text die Terminologie:

Man vereinfacht den Funktionsterm so weit es sinnvoll ist und bildet dann den Grenzwert? Also nicht ∞ sondern eine möglichst große Zahl.

Sehe ich das richtig, dass das Vorgehen immer dasselbe ist? Wenn man mit Umformungen nicht zum Ziel kommt, benutzt man auch andere Regeln. Z.B. Hospital.

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Hospital wird bei uns nächste Woche behandelt, bis hierhin habt ihr mir schon Super geholfen

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@Lu
( 3x² + x -1 ) / (x² + 1)
[ (3x² + x -1 ) : x^2  ]  / [  (x² + 1) : x^2 ]
( 3 + 1/x - 1/x² ) / ( 1 + 1/x²)
Die Variante vergess ich immer obwohl sie in vielen
Fällen eigentlich die eindeutigste ist.

mfg Georg

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Hat es eigentlich einen bestimmten Grund warum ich den Wert nicht schon vorher einsetze? Im Prinzip sollte ich doch auf dasselbe Ergebnis kommen, auch wenn ich den Wert schon vor dem Vereinfachen einsetze? Angenommen ich komme in der Klausur bei einer Aufgabe nicht weiter, kann ich dann zur Not auch zum Taschenrechner greifen?

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hallo Gastie13,

  die Schwierigkeit ist nur das " ∞ " kein Wert ist ( fester Punkt auf dem
Zahlenstrahl ).  Deshalb dürfte es Schwierigkeiten bereiten " ∞ " in
konkrete Berechnungen einzubeziehen.

  Geht dagegen der limes gegen einen Wert z.B. x = 3 führe ich
manchmal Berechnungen aus indem ich für x =2.9 dann x = 2.99
oder x = 2.999 einsetze um zu sehen wohin der Grenzwert geht.

  Diese Nebenrechnungen sind aber meist nicht für eine vollständige
Antwort innerhalb einer Mathearbeit geeignet.

  mfg Georg

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So wie du mit den festen Werten vorgehst, mache ich das auch. Das ist in der Klausur auch absolut legitim, weil es dort ohnehin nur auf die Antwort ankommt. Wenn ich aber besonders hohe Werte einsetze wie z.B. 999999 oder -999999, sollte mir der Rechner ja eigentlich auch anzeigen gegen welchen Wert die Funktion läuft. Zumindest hat er das getan als ich das probeweise getan habe. Ich war mir nur nicht sicher ob ich einfach Glück hatte, oder ob das im Notfall auch so ginge.

Habe ich zum Beispiel diese Funktion $${ lim }_{ x->\infty  }=\frac { x-3 }{ { x }^{ 2 }+1 }$$

und setze 99999 für x ein, sehe ich, dass der Wert gegen 0 läuft und mein Grenzwert somit 0 ist. Versteht mich nicht falsch, ich möchte nur wissen ob ich das im Notfall so machen könne, falls ich die Aufgabe rechnerisch nicht lösen kann.

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So wie du dir hilfst habe ich nichts dagegen einzuwenden.

Du gehst nur, in diesem Fall, komplett umständlich vor.

lim x -> ∞  ( x - 3) / ( x^2 + 1 )
In Worten : falls x gegen unendlich geht spielt im Zähler -3 keine Rolle
mehr  und kann entfallen. Gegenüber der Unendlichkeit ist Unendlich
minus 3 immer noch unendlich.
Dieselbe Überlegung gilt auch für den Nenner.
Es bleibt : x / x^2:
Da das obere x und das untere x den gleichen Wert einnehmen,
egal ob ich x = 4 oder x = 12345 einsetze, kann ich kürzen.
x / ( x * x ) = 1 / x
1 / x ist in diesem Fall ( 1 / ∞ ) und damit null.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

Answer 2

In diesem fall würde ich eine Polynomdivision durchführen

3x^2  + x - 1 : x^2 + 1 = 3 + ( x - 4 ) / ( x^2 + 1)
3x^2  + 3
------------
x - 4

lim x -> ∞  [ 3 + ( x - 4 ) / ( x^2 + 1) ]  = 3
da
lim x- > ∞  ( x - 4 ) / ( x^2 + 1) = x / x^2 = 1 / x = 0

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Die Zeile nach "da" muss $$lim_{ x \to \infty} \frac{ x - 4 }{ x^2 + 1}= lim_{ x \to \infty} \frac{x}{x^2} = lim_{ x \to \infty} \frac {1} { x } = 0 lauten. Und ich würd keine Polynomdivision machen sondern so vorgehen wie der Threadersteller.

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Dein Kommentar wird bei mir nur unleserlich dargestellt
insbesondere nach " da ... " . Steckt bei mir irgendwo ein Fehler ?
mfg Georg

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Da ich nicht mehr editieren kann ein erneuter Versuch: Die Zeile nach "da" muss $$lim_{ x \to \infty} \frac{ x - 4 }{ x^2 + 1}= lim_{ x \to \infty} \frac{x}{x^2} = lim_{ x \to \infty} \frac {1} { x } = 0$$ lauten. Und ich würd keine Polynomdivision machen sondern so vorgehen wie der Threadersteller.

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Hab ich irgendwo Tomaten auf den Augen ?

lim x- > ∞  ( x - 4 ) / ( x² + 1) = x / x² = 1 / x = 0

Ist das nicht dasselbe wie bei dir ?

mfg Georg
 

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Entweder hast du Tomaten auf den Augen oder es wird wieder was nicht angezeigt. Bei mir steht ein Limes n gegen unendlich für x/x² und 1/x. Dein 1/x=0 ist schlicht falsch, es gibt keine Zahl die diese Gleichung erfüllen würde. Auch ist lim x- > ∞ ( x - 4 ) / ( x²+ 1) = x / x² falsch, links steht eine Zahl oder +/- unendlich, rechts eine gebrochen rationale Funktion. Das sind verschiedenartige Objekte, die nur schwer vergleichbar sind, geschweige denn gleich.

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Hi agrajag,

[...] oder es wird wieder was nicht angezeigt.

Das hört sich an, als hättest Du schon mal den Fall gehabt, weniger zu sehen als andere (wie auch immer Du darauf sicher schließen kannst^^)?! Das sollte meines Wissens nicht der Fall sein. Weiß Matheretter (admin) Bescheid? :)

 

Grüße

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Hi unknown, ich hätte besser wieder(?) schreiben sollen. Ganz sicher bin ich mir nicht. Ich hatte die Woche einen Thread, bei dem ich und ein anderer User der Meinung waren, dass formeln fehlen würden, der Ersteller war gegenteiliger Meinung. Sicher weiß ich es nicht.

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Hast Du den zufällig noch im Petto? Dann kann ich drüberschauen ;). Habe auch ein, zwei Rechte mehr (Wobei ich diesbzgl nicht mehr sehen dürfte).

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Danke für Eure Antworten. Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr noch kurz meine anderen Verständnisfragen klären könntet :)

Zum einen: Kann ich bei allen Funktionen deren Verhalten ich im unendlichen untersuchen soll so vorgehen?
Und zum anderen: Er  bekommt bei allen drei Varianten + oder -∞ als Ergebnis heraus. Heißt das, dass die Funktion keinen Grenzwert hat, bzw. dieser nicht definiert ist?

Ich suche noch ein Schema nach dem ich vorgehen kann und das ich auf alle Aufgabentypen anwenden kann. Bei der von mir gepostete Funktion konnte ich einfach x komplett rauskürzen und hatte somit meine Lösung. Ich musste also nichts einsetzen oder ähnliches. Schaue ich mir nun diese Funktion an:

$$g(x)=\frac { 1-{ x }^{ 5 } }{ { x }^{ 4 }+x+1 }$$
Die Funktion soll überprüft werden wenn x -> ∞ und gegen -∞ strebt

Ich gehe so wie im Video vorgeschlagen vor und erhalte -x^5 / x^4

Hier kann ich nichts kürzen oder ähnliches. Wie geht es nun weiter? Muss ich gedanklich jetzt einen hohen positiven Wert einsetzen und einen hohen negativen Wert?

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Hallo Georg

agrajag meint wohl: Solange nach einem Gleich noch ein x dasteht, solltest du lim... mitschleppen. 

lim x- > ∞ ( ( x - 4 ) / ( x² + 1)) = lim x- > ∞ (x / x²) = lim x- > ∞ (1 / x) = 0

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Du kannst doch mit x^4 kürzen

 -x^5 / x^4 = -x/1
limes davon ist    -∞

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@Unknown: Der hier: https://www.mathelounge.de/122955/untersuchen-sie-durch-ein-skalarprodukt-auf-definiert-wir Für den Rest zieh ich mich hier jetzt zurück um Verwirrung zu vermeiden.

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die spitzen Klammern und Formeln beziehen sich auf den Wikipedia-Artikel. Im Text fehlen ℝ und ℂ

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@agrajag
lim x- > ∞  ( x - 4 ) / ( x² + 1) = x / x² = 1 / x = 0

Was du an meiner Schreibweise bemängelst fällt bei mir unter
Haarspalterei.
Ich bin etwas schreibfaul. Das 3 malige Hinschreiben
von " lim x- > ∞ "  wollte ich mir ersparen. Der Ausdruck
" lim x- > ∞ " ist die Vorbemerkung und gilt für die ganze
Zeile.
(* Scherzmodus an*)
Trotz origineller Schreibweise kann man es in der Mathermatik
weit bringen. Denk an Ramanujan.
(* Scherzmodus aus *)

mfg Georg

Nachtrag für die Psychologen wieso meine 1.Antwort
( Nachweis über Polynomdivision ) so ausgefallen ist :
Da der Fragesteller eine relativ leichte Frage gestellt hat
wollte ich mir nicht unbedingt noch das 5-Minuten-Video
dazu anschauen und habe den Nachweis über eine Polynom-
division geführt. Von der Antwort kann man ja durchaus auch
noch etwas lernen.

@agrajag
Bin ich auch mal supergenau.
In deinem Kommentar
" Bei mir steht ein Limes n gegen unendlich für x/x² und 1/x. "
Das " n " dürfte wohl falsch sein.

 

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Lieber georg, das hat nichts mit Schreibfaulheit oder Haarspalterei zu tun. Was du schreibst ist schlicht falsch. Wenn du Privatnotation (der Limes gilt für die ganze Zeile) benutzen willst, schreib es bitte dazu. Wenn ein Schuler/Student dass so aufschreibst wie du wird ihm/ihr das zu Recht angestrichen. Und ich bin der Meinung man sollte hier vermeiden Falsches zu verbreiten. "Bin ich auch mal supergenau." ja, du hast Recht das war ein Tippfehler, in dem Geschriebenen steht überalll \( lim_{x \to \infty} \) . Und gegen die mitschwingende Unterstellung, ich wäre hier supergenau gewesen, verwehre ich mich. Ebenso gegen den Vorwurf der Haarspalterei. Du rufst doch extra zu Kritk auf.

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"supergenau" zu sein würde ich als Kompliment, nicht als Kritik auffassen

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Hallo agrajag,

  ich habe nichts gegen Kritik. Mir geht es, genau wir dir um die Sache und das
der Fragesteller eine Antwort bekommt die er versteht und die ihm weiterhilft.

  Ich denke meine Zeile war, mit etwas gutem Willen, verständlich. Ich bin Autodidakt
und daher niemals Oberstufenschüler oder Student gewesen.

  Ich hatte jedenfalls Schwierigkeiten zu verstehen was du überhaupt meinst.
Belassen wir es mit dem Kommentar von Lu

  " agrajag meint wohl: Solange nach einem Gleich noch ein x dasteht,
solltest du lim... mitschleppen.
lim x- > ∞ ( ( x - 4 ) / ( x² + 1)) = lim x- > ∞ (x / x²) = lim x- > ∞ (1 / x) = 0 "

  Ist aber alles nicht schlimm.

  mfg Georg

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" Ich denke meine Zeile war, mit etwas gutem Willen, verständlich. Ich bin Autodidakt und daher niemals Oberstufenschüler oder Student gewesen." Sie war verständlich, aber falsch aufgeschrieben. Und als Schüler/Student gehört es auch dazu die Sachen richtig aufzuschreiben. Deswegen die Korrektur. " Ich hatte jedenfalls Schwierigkeiten zu verstehen was du überhaupt meinst." Das ist vollkommen o.k., ich habe versucht es zu erklären, was wohl nicht ganz funktioniert hat. Mich deswegen der Haarspalterei zu bezichtigen finde ich nicht sonderlich nett.

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Ich gelte eigentlich als eher " netter " Typ.
In aller Sachlichkeit :
Es handelt sich hierbei um einen typischen Fall von
Verständigungsproblem.
Der eine spricht die Sprache, der andere eine andere.
Ich habe nicht verstanden was du überhaupt gemeint hast.
Lu´s Kommentar :  agrajag meint wohl: Solange nach einem
Gleich noch ein x dasteht, solltest du lim... mitschleppen.
lim x- > ∞ ( ( x - 4 ) / ( x² + 1)) = lim x- > ∞ (x / x²) = lim x- > ∞ (1 / x) = 0 "
habe ich sofort verstanden.

ich habe keine Schwierigkeiten Verständigungsprobleme
auszuräumen.

Wichtig ist eigentlich nur das man sich zum Schluß
versteht woran es gehakelt hat.

mfg Georg