Bestimmung ob Folgen konvergent oder divergent

Question

Ich muss bestimmen, welche der folgenden Folgen konvergent und welche divergent sind. Dann muss ich die Grenzwerte der haben die konvergenten Folgen bestimmen (ohne Rechnung). Kann es mir jemand erklären?

(a) \( \quad\left(\begin{array}{l}{1-\frac{1}{k}} \\ {1+\frac{1}{k}}\end{array}\right)_{k} \)

(b) \( \quad\left(\begin{array}{c}{1+k} \\ {1} \\ {1-k}\end{array}\right)_{k} \)

(c) \( \quad\left(\begin{array}{c}{e^{-k}} \\ {\frac{1}{k+1}}\end{array}\right)_{k} \)

(d) \( \quad\left(\begin{array}{c}{\sin (2 \pi k)} \\ {k^{-2 \pi}}\end{array}\right)_{k} \)

Answer 1

(a) ist konvergent, da beide Folgen den gemeinsamen Grenzwert 1 haben.

Beim Grenzwert muss man immer mehr denken als rechnen: man muss für k eine unendlich hohe Zahl einsetzen, und 1 durch eine unendlich hohe zahl wird unendlich klein. Daher ist der Grenzwert von 1-1/k und 1+1/k für unendlich hohes k gleich.

(b) ist divergent. Die erste Folge geht einfach unendlich weit hoch, die zweite unendlich weit nach unten.

(c) ist konvergent. Oben steht e^-k, das ist umgeformt 1/e^k. Da e^k wieder unendlich hoch ist, ist der Grenzwert des ganzen, wenn k gegen unendlich geht, 0. Unten steht 1/k+1. Wenn k unendlich hoch wird, wird auch k + 1 unendlich hoch, sodass da wieder 1 durch eine unendlich hohe Zahl steht. Also gehen beide gegen 0.

(d) ist divergent, da der Sinus überhaupt keinen festen Grenzwert hat.

 

Hoffe, das ist richtig (hab mich nie mit Konvergenz und Divergenz beschäftigt). LG Florian

Comments

Was ist denn eine unendlich hohe Zahl?
Zu d)  Es ist  sin(2πk) = 0  für alle  k ∈ ℤ. Warum soll es keinen Grenzwert geben?

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Ja, aber ist nach allen k ∈ ℤ gefragt?

Die "unendlich hohe Zahl" ist nur ein Gedanke, um den Limes zu veranschaulichen.

Man lässt k gegen unendlich gehen. Das heisst, man erhöht es immer weiter. Wenn man diese gedachte unendlich hohe Zahl nun beispielsweise in 1/k einsetzt, ist der Grenzwert 0.

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Es ist nach allen  k ∈ ℕ  gefragt. Alle Folgeglieder der Folge {sin(2πk)}_k  sind gleich Null. Diese Folge ist offensichtlich konvergent.

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Das stimmt, aber das hattest du nicht in die Frage geschrieben.

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Was liest du denn beim Aufgabenteil d)?

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Ich lese natürlich dass da 2πk in der Klammer steht, und sehe ein, dass bei k ∈ ℕ die Folge konvergent ist. Aber nirgendwo war die Rede von k ∈ ℕ.

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Was soll denn  k  sonst sein, wenn es sich um Folgen handelt?

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@derhaberer: Es ist von Folgen die Rede. Daher automatisch k in den natürlichen Zahlen. Auch die "Erklärung" von Konvergenz mit "unendlich hohenZahlen" ist mathematisch sehr fragwürdig.

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Dann entschuldige ich mich für mein Unwissen. Meine Lösung für 1, 2 und 3 sind aber immerhin richtig.