Mit Intervallschachtelungsverfahren einen Näherungswert für die Nullstelle bestimmen

Question

gegeben sei f: R-->R mit f(x) = 4x³+3x²-5x+4.

 

Zeigen sie , dass f eine Nullstelle x0 im Intervall (-2, -1) besitzt. Bestimmen sie mit Hilfe des Intervallschachtelungsverfahrens einen Näherungswert x ∈(-2,-1) für die Nullstelle x0 mit Ιx0-xΙ< 1/10.

Answer 1

Gezeigt ist die Existenz der Nullstelle, da f(-2) = -6 und f(-1) = 8 ist. Deswegen muss es einen Nulldurchgang geben.

Beim Intervallschachtelungsverfahren bestimme ich einfach Funktionswerte, und "schachtele" dadurch die Funktion:

x	-2	-1,9	-1,8	-1,7	-1,6	-1,5	-1,4	-1,3	-1,2	-1,1	-1
f(x)	-6	-3,106	-0,608	1,518	3,296	4,75	5,904	6,782	7,408	7,806	8

Jetzt schachtelst du den Bereich zwischen -1,8 und -1,7 weiter:

x	-1,8	-1,79	-1,78	-1,77	-1,76	-1,75	-1,74	-1,73	-1,72	-1,71	-1,7
f(x)	-0,608	-0,379	-0,153	0,067768	0,2857	0,5	0,710704	0,91783	1,12141	1,3215	1,518

Jetzt schachtelst du den Bereich zwischen -1,78 und -1,77 weiter:

x	-1,78	-1,779	-1,778	-1,777	-1,776	-1,775	-1,774	-1,773	-1,772	-1,771	-1,77
f(x)	-0,153	-0,131	-0,109	-0,08695	-0,065	-0,04256	-0,02042	0,001679	0,02375	0,0457	0,06777

Die Nullstelle liegt zwischen -1,774 und -1,773. So kannst du jetzt immer weiter machen.

LG Florian