Im folgenden Verlauf habe ich eine relativ übertrieben ausführlichen Lösungsvorschlag.
Meine Frage dazu:
Würdet ihr im 2. Schritt nicht auch intuitiv die +-Wurzel ziehen und beide Lösungsmöglichkeiten ausrechnen?
Da hier kein "Standard-Wurzelziehgleichung" (wie z.B. x² = 9 |Wurzel) vorliegt, war ich irritiert und mir für die 2 Lösungsmöglichkeit nicht ganz sicher, welche Seite nach dem Wurzelziehen negativ sein soll. So habe ich einfach mal beide negativ gesetzt, dessen Lösung natürlich gleich der ersten Lösung ist.
Das ist natürlich einfach nur Rumgespiele aus einem "Denkfehler" heraus.
1)
$$\frac { 1 }{ 2 } (2k-{ e }^{ x })²\quad =\quad 2k²\quad |\cdot 2\\ (2k-{ e }^{ x })²\quad =\quad 4k²\quad |\pm \sqrt { } \\ \\ Beide\quad Seiten\quad +\quad \\ 2k-{ e }^{ x }\quad =\quad 2k\quad |-2k\\ -{ e }^{ x }\quad =\quad 0\quad |\cdot (-1)\\ { e }^{ x }\quad =\quad 0\quad \quad |ln()\\ { x }_{ 1 }\quad =\quad 0\\ \\ Beide\quad Seiten\quad -\quad \\ -2k{ +e }^{ x }\quad =\quad -2k\quad |+2k\\ { e }^{ x }\quad =\quad 0\quad \quad |ln()\\ { x }_{ 2 }\quad =\quad 0\\ \\ { x }_{ 1 }{ =\quad x }_{ 2 }\quad =\quad 0\\ \\ Probe\quad für\quad { x }_{ 1,2 }:\\ (2k-{ e }^{ x })²\quad =\quad 4k²\\ (2k-{ e }^{ 0 })²\quad =\quad 4k²\\ (2k-1)²\quad =\quad 4k²\\ 4k²\quad -\quad 4k\quad +\quad 1\quad \neq \quad 4k²\\ Unwahr!\\ \\ Eine\quad Seite\quad +,\quad eine\quad Seite\quad -:\\ 2k{ -e }^{ x }\quad =\quad -2k\quad |+2k+{ e }^{ x }\\ { e }^{ x }\quad =\quad 4k\quad \quad |ln()\\ { x }_{ 3 }\quad =\quad ln(4k)\\ \\ Eine\quad Seite\quad -,\quad eine\quad Seite\quad +:\\ -2k{ +e }^{ x }\quad =\quad 2k\quad |+2k\\ { e }^{ x }\quad =\quad 4k\quad \quad |ln()\\ { x }_{ 4 }\quad =\quad ln(4k)\\ \\ { x }_{ 3 }\quad =\quad { x }_{ 4 }\quad =\quad ln(4k)\\ \\ Probe\quad für\quad { x }_{ 3 }\quad =\quad { x }_{ 4 }\quad =\quad ln(4k)\\ (2k-{ e }^{ x })²\quad =\quad 4k²\\ (2k-{ e }^{ ln(4k) })²\quad =\quad 4k²\\ (2k-4k)²\quad =\quad 4k²\\ 4k²\quad -\quad 16k²\quad +\quad 16k²\quad =\quad 4k²\\ 4k²\quad =\quad 4k²\\ Wahr!$$
Würdet ihr intuitiv wie 1)(kurz) oder 2) lösen?
1)
$$\frac { 1 }{ 2 } (2k-{ e }^{ x })²\quad =\quad 2k²\quad |\cdot 2\\ (2k-{ e }^{ x })²\quad =\quad 4k²\quad |\pm \sqrt { } \\ \\ \sqrt { (2k-{ e }^{ x })² } \quad =\quad \sqrt { 4k² } \\ 2k-{ e }^{ x }\quad =\quad 2k\quad |-2k\\ -{ e }^{ x }\quad =\quad 0\quad |\cdot (-1)\\ { e }^{ x }\quad =\quad 0\quad \quad |ln()\\ { x }_{ 1 }\quad =\quad 0\\ \\ \sqrt { (2k-{ e }^{ x })² } \quad =\quad -\sqrt { 4k² } \\ 2k{ -e }^{ x }\quad =\quad -2k\quad |+2k+{ e }^{ x }\\ { e }^{ x }\quad =\quad 4k\quad \quad |ln()\\ { x }_{ 2 }\quad =\quad ln(4k)\\ \\ Probe\quad für\quad { x }_{ 1 }:\\ (2k-{ e }^{ x })²\quad =\quad 4k²\\ (2k-{ e }^{ 0 })²\quad =\quad 4k²\\ (2k-1)²\quad =\quad 4k²\\ 4k²\quad -\quad 4k\quad +\quad 1\quad \neq \quad 4k²\\ Unwahr!\\ \\ Probe\quad für\quad { x }_{ 2 }\quad =\quad ln(4k)\\ (2k-{ e }^{ x })²\quad =\quad 4k²\\ (2k-{ e }^{ ln(4k) })²\quad =\quad 4k²\\ (2k-4k)²\quad =\quad 4k²\\ 4k²\quad -\quad 16k²\quad +\quad 16k²\quad =\quad 4k²\\ 4k²\quad =\quad 4k²\\ Wahr!$$
2)
$$\frac { 1 }{ 2 } (2k-{ e }^{ x })²\quad =\quad 2k²\quad |\cdot 2\\ (2k-{ e }^{ x })²\quad =\quad 4k²\\ 4k²-4k{ e }^{ x }+{ e }^{ 2x }=\quad 4k²\quad |-4k²\\ -4k{ e }^{ x }+{ e }^{ 2x }=\quad 0\quad |+4k{ e }^{ x }\\ { e }^{ 2x }=\quad 4k{ e }^{ x }\quad |ln()\\ 2x\cdot ln(e)\quad =\quad ln(4)\quad +\quad ln(k)\quad +\quad x\cdot ln(e)\\ 2x\quad =\quad ln(4)\quad +\quad ln(k)\quad +\quad x\quad |-x\\ x\quad =\quad ln(4)\quad +\quad ln(k)\quad =\quad ln(4k)$$
