Volumen eines Würfels in Abhängigkeit seiner Oberfläche

Question

1) Zeige, dass die Oberfläche eines Würfels in Abhängigkeit von seinem Volumen die Beziehung  1. Ao (v) =³ √216*V² und 2.V(Ao) = √(Ao/6)³ gilt.

2) Stelle diesen Zusammenhang in der Form der Potenzfunktion f(x) = k*x ^p/q dar.

Über eine Antwort mit ausführlichem Lösungsweg würde ich mich sehr freuen.

Comments

Beginne vielleicht mal hier: https://www.mathelounge.de/2364/oberflache-wurfels-betragt-welches-volumen-dieser-wurfel

Hoffe, das hilft.

Answer 1

1) Die Oberfläche eines Würfels ist festgelegt durch

O = 6a²

Das Volumen beträgt

V = a³. Da du die Oberfläche in Abhängigkeit vom Volumen bestimmen sollst, löst du das Volumen nach a auf:

a = ³√V.

Eingesetzt in O:

→O (V) = 6(³√V)²

Um die Formeln zu beweisen, musst du die 6 unter die Wurzel bekommen. Das kannst du mit einer Potenzregel:

O (V) = 6(³√V²) = ³√6³ · (³√V²) = ³√216 · ³√V² = ³√(216V²). Damit wäre die erste Formel bewiesen. Um die zweite Formel zu beweisen, kannst du einfach diese nach V auflösen:

O = ³√(216V²) | hoch 3
O³ = 216V² |: 216
O³/216 = V² |√
√(O³/216) = V = √(O³/216) = √(O³/6³) = √(O/6)³. Damit wäre auch die zweite Formel bewiesen.

2) Den Term 6(³√V²), der der Oberfläche entspricht, kannst du durch ein Potenzgesetz formulieren als O (V) = 6·V^2/3.

Damit hat er die geforderte Form.

 

LG Florian

Comments

Ich habe nochmal eine Frage im Nachhinein. Bei 1) mit der Potenzregel: Wieso wird es zu³ √6³ *³√V² ?

Also ich versteh nicht warum es 6³ ist ...

LG

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Ich antworte einmal. Hoffentlich richtig.

6 = ³√ (6^3)
³√ 6 = 6^{1/3}
6^{[1/3]hoch3} = 6^{1/3*3} = 6^1
Hoch drei und dritte Wurzel heben sich auf.
Deshalb kann man schreiben
6 = ³√ (6^3) = ³√ 216
und dann in der Aufgabe unter eine Wurzel schreiben
6 *  ³√ ( V^2 )
³√ 216 *  ³√ ( V^2 )
³√  ( 216 * V^2 )
Bei Fragen wieder melden.
mfg Georg

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Vielen Dank ! Wissen Sie auch wie bei 2. der Zusammenhang in einer Potenzfunktion dargestellt werden kann ? Oder ist O(V)= 6*V^2/3 für beide gültig ?

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Vorbemerkung : hier im Forum wird sich im allgemeinen geduzt.

Bei der 2.Aufgabe habe ich gar nicht gewußt was überhaupt
f(x) = k*x ^p/q
bedeuten sollte.
Die Antwort von Florian hat dies geklärt.
Es wurde gefordert
O = 6 * ³√ V^2
" in der Form der Potenzfunktion f(x) = k*x ^p/q "
zu schreiben.
Allgemeines Beispiel
³√ a = a^{1/3}
In unserem Fall etwas komplizierter
( deshalb gehe ich jetzt etwas umständlicher vor )
O = 6 * ³√ V^2 =
O = 6 * ³√ ( V * V )
O = 6 * ³√ V * ³√ V
O = 6 * V^{1/3} * V^{1/3}
O = 6 * V^{[1/3]+[1/3]}
O = 6 * V^{2/3}
Damit entspricht diese Funktion nun der Schreibweise
einer Potenzfunktion.
k = 6
p = 2
q = 3

Die zweite Formel
V = √ (O^3 / 216)
läßt sich auch umformen
V = ²√ ( O^3 / 6^3 )
V = ²√ ( O^3 ) /  ²√ (  6^3 )
V = O^{3/2} / 14.7
V = 1/14.7 *  O^{3/2}
V = 0.068 * O^{3/2}
k = 0.068
p = 3
q = 2

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