Zeigen Sie, dass jede konvergente Folge von ganzen Zahlen irgendwann konstant wird.

Question

Ich brauche eure Hilfe für folgende Frage:

Sei a_n  eine konvergente Folge ganzer Zahlen, d.h a : ℕ → ℤ . Zeigen Sie , dass ein Ν existiert, sodass für alle n ≥ N   a_n+1 = a_n , d.h. die Folge ist ab N konstant.

Answer 1

Gemäss Definition des Grenzwertes von konvergenten Folgen (a_n) mit Grenzwert A gilt: Für jedes ε > 0 gibt es ein N in IN so dass |a_n - A| < ε für alle n ≥ N.

Nun wählen wir ε = 0.5 und erhalten, da (a_n) gegen A konvergiert:

Es gibt ein N in IN so dass |a_n - A| < 0.5 für alle n ≥ N.

Ganze Zahlen, die sich betragsmässig um weniger als 0.5 vom Grenzwert unterscheiden, müssen zwangsweise immer gleich sein. Sie entsprechen alle dem Grenzwert A.