Integralrechnung: Flächenberechnung

Question

Gegeben sind ie Funktionen f(x)=x³ und g(x)=-x²+12.

Gesucht ist die Maßzahl der Fläche, die von den beiden Graphen und der y-Achse eingeschlossen wird.


ich weiß, dass m an da was auf leiten muss aber nicht wie man da die nullstellen oder den Scheitel oder snittpunkt von g und f bestimmen kann.

Oder die maßzahl der Fläche die vo den beiden Grapehen und der y-achse eingeschlossen wird.

Kann da vielleicht wär helfen wär geil :)

Answer 1

Zunächst solltest du eine Skizze der Graphen der Funktionen anfertigen. Die sieht etwa so aus:

An dem Schaubild kannst du erkennen, von wo und insbesondere, BIS wo du integrieren musst, nämlich von 0 bis zu der x-Koordinate x_s des Schnittpunktes von f und g. Diese x-Koordinate muss du zunächst berechnen. Dazu setzt du die Funktionsterme gleich:

x ³ = - x ² + 12

<=> x ³ + x ² - 12 = 0

Nun musst du eine Nullstelle raten. Dazu empfiehlt es sich, die positiven und negativen Teiler des absoluten Gliedes ( also der 12 ) auszuprobieren, denn wenn eine Polynomfunktion eine ganzzahlige Nullstelle hat, dann ist sie Teiler des absoluten Gliedes. (Im Übrigen kann man schon am Graphen vermuten, dass x = 2 die x-Koordinate des Schnittpunktes von f und g und somit Nullstelle von f - g sein könnte.)

Um nun die Flächenmaßzahl der bezeichneten Fläche zu bestimmen, muss also das Integral von 0 bis 2 über g - f bestimmt werden, also:

A = ∫₀² g - f dx

= ∫₀² - x ² +12 - x ³ dx

= ∫₀² - x ³ - x ² +12 dx

= [ - ( 1 / 4 ) x ⁴ - ( 1 / 3 ) x ³ + 12 x ]₀²

= [ - 4 - ( 8 / 3 ) + 24 ] - [ 0 ]

= 17,333

Answer 2

Zuerst würde ich mir die Funktionen angucken:

Blau: x³ Rot: -x² + 12 Grün: Trennstrich.

Du siehst sehr gut, dass sich die Fläche aus 2 Teilen zusammensetzt:

Aus dem Integral des blauen Graphen von 0 bis 2 (das heisst aus der mit der x-Achse eingeschlossenen Fläche)

und dem Integral des roten Graphen von 2 bis 4.

Jetzt bildest du beide Stammfunktionen durch Aufleiten:

F(x) = 1/4x⁴      G(x) = -1/3x³ + 12x

 

Jetzt ist die Fläche einfach

A = 1/4·2⁴ + ((-1/3·4³ + 12·4) - (-1/3·2³ + 12·2)) = 4 + ((-64/3 + 48) - (-8/3 + 24)) = 4 + (80/3 - 64/3) = 4 + 16/3 = 28/3.

LG Florian

Comments

und wenn es heist bestimme darf ich dann einfach sagen habich an der funktion abgelesen oder?

Und waoraus setzt sich die letzte Rechnung zusammen ?

---

@derhaberer:

Mir scheint, du hast die Fläche berechnet, die die beiden Funktionen mit der x-Achse einschließen. Berechnet werden sollte aber laut Aufgabenstellung die Fläche, die die beiden Funktionen mit der y-Achse einschließen.

---

Ja, ich denke das reicht schon aus, um zu begründen, wieso du genau diese Integrale nimmst.

---

OOOh... das stimmt... tut mir leid