Binomialverteilung Erwartungswert mü und Standardabweichung sigma herleiten

Question

Ich habe eine Aufgabe aus dem Lambacher schweizer, die mich gerade schier verzweifeln lässt.

 

In der Tabelle ist für n=3 die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomial verteilten Zufallsgröße X mit dem Parametern n und p allgemein angegeben. Berechnen sie Erwartungswert und Standardabweichung von X. (hinweis auf formel: μ=x₁*P(X=x₁)+X₂*P(X=x₂)+...+x_n*P(X=x_n)  ). Beachten sie dabei, dassp+q=1 gilt

 

r 0 1 2 3

Tabelle

P(X=r)	q3	3pq2	3p2q	p3

 

So die Lösung sagt jetzt folgendes:
μ=0*q³+1*3p(1-p)²+2*3p²(1-p)+3p³            Soweit so gut. die (1-p) kommen daher das p+q=1     <=>    q=1-p

Dann:

μ= 3p(1-2p+p²) + 6p² (1-p) + 3p³                   Hier kommt man ja noch ziemlich einfach mit ausklammern hin...

Aber dann komme ich nicht darauf wie dieses oben  zu:

μ=3p wird?!

Das das richtig ist, was da raus kommt ist für mich logisch, da wir schon die ganze Zeit im Unterricht damit rechnen, allerdings ist mir die Herleitung so einfach nicht möglich...

Das ganze scheint dann ja die Herleitung des Erwartungswertes μ zu sein.

Das gleiche soll jetzt allerdings auch für σ² gemacht werden. Hier habe ich dann voll den Durchblick verloren.

Eine Herleitung für σ²  wäre auch noch toll.

Danke schon mal im voraus :))

Comments

Falls du das rasch nachprüfen möchtest, lass dir schrittweise von 'expanded form' helfen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=3p%281-2p%2Bp%5E2%29+

usw. bis

 https://www.wolframalpha.com/input/?i=3p%281-2p%2Bp%5E2%29+%2B+6p%5E2+%281-p%29+%2B+3p%5E3 helfen.

Answer 1

Einfach mal ausmultiplizieren und zusammenfassen.

μ = 3·p·(1 - 2·p + p^2) + 6·p^2·(1 - p) + 3·p^3

μ = 3·p - 6·p^2 + 3·p^3 + 6·p^2 - 6·p^3 + 3·p^3

μ = 3·p - 6·p^2 + 3·p^3 + 6·p^2 - 6·p^3 + 3·p^3

μ = 3·p

Comments

σ^2 = (0 - 3·p)^2·q^3 + (1 - 3·p)^2·(3·p·q^2) + (2 - 3·p)^2·(3·p^2·q) + (3 - 3·p)^2·p^3

σ^2 = (0 - 3·p)^2·(1 - p)^3 + (1 - 3·p)^2·(3·p·(1 - p)^2) + (2 - 3·p)^2·(3·p^2·(1 - p)) + (3 - 3·p)^2·p^3

Auch ausmultiplizieren und zusammenfassen

σ^2 = 3·p·(1 - p)

wzbw.