Zeigen, dass der Grenzwert a der einzige Häufungswert von (an)n∈ℕ ist.

Question

Sei (a_n)_n∈ℕ  eine Folge in ℂ mit a_n → a ∈ ℂ bei n→∞. 

Man soll zeigen, dass der Grenzwert a der einzige Häufungswert von (a_n)_n∈ℕ ist.

 

danke.

Answer 1

Es sei \(b\neq a\) und damit \(r=|b-a|/2\gt 0\).

Dann gilt \(B_r(a)\cap B_r(b)=\emptyset\),

wobei \(B_r(p)\) die offene Umgebung \(\{x\in \mathbb{R}: |x-p|\lt r\} \) von \(p\) bedeutet.

Da \((a_n)\) gegen \(a\) konvergiert, liegen nur endlich viele der \(a_n\)

außerhalb von \(B_r(a)\), also erst recht nur endlich viele in \(B_r(b)\),

d.h. \(b\) ist kein Häufungswert der Folge.