Hey; warum ist auf einmal meine Antwort weg?
" <=== "
ist nicht unproblematisch. Das Gegenteil vom Häufungspunkt ist ja der diskrete Punkt. Fallunterscheidung; es gibt ja Folgen, um es genau auszudrücken, deren Bild nur aus endlich vielen Punkten besteht. Eine solche Folge kann sehr wohl konvergieren; aber eine endliche Menge ist immer diskret, hat nie einen Häufungspunkt.
0 ; 0 ; 0 ; 0 ; ...... ( 1 )
Meinen Beweis stütze ich auf ===> Edward Nelsons Nonstandard Analysis ( NSA ; IST ) wo ich ein absoluter Fan von bin. Lehrbuch von Alain Robert bei Wiley; neueste Auflage selbstverständlich bei Amazon.
Doch noch zwei Konventionen vorab; die Variable " klein a " wird nur dann notiert als " groß A " , wenn ihr Wertebereich auf Standardwerte beschränkt ist. NSA ist " case sensitive " Und inf(initesimale) Größen bezeichne ich mit griechischen Buchstaben.
An dieser Stelle möchte ich noch eine Nonstandard Relation einführen.
x ( = ) y : D ( x ; y ) = inf = € ( 2 )
Wir wollen sagen; x ist fast gleich y .
Beginnen wir mit dem Häufungspunkt; die NSA arbeitet ganz typisch mit ===> impliziten Definitionen.
" H ist Häufungspunkt der Menge M , wenn
(E) a € M | a ( = ) H ( 3a )
D ( a , H ) > 0 ( 3b ) "
Ein a, das Relationen ( 3ab ) erfüllt, möge fast Standard heißen und a * := H der Schatten von a .
Hier nun empfiehlt sich eine Erläuterung zu Nelsons Standardisierungsaxiom; seine Notation erscheint mir doch reichlich verwirrend. Sei M eine Standardmenge; die Menge ihrer Häufungspunkte ist definiert als ihre Ableitung M ' ( weiß ich nur aus der Spektrum; in den Unitexten findet man sowas nicht. ) Dann gilt
M ' = { H | (E) a € M ; H = a * ; D ( a , H ) > 0 } ( 4 )
Das " große M " links besagt, dass wir eine Standardmenge vor uns haben. Und mit dem " großen H " mache ich deutlich, dass die Mengen bildende Eigenschaft EXPLIZIT nur auf Standardelemente Anwendung findet; für Nonstandard Elemente ist diese Definition IMPLIZIT in dem Sinne, dass zwei Standardmengen schon dann überein stimmen, wenn sie die selben Standardelemente enthalten.
Die Menge auf der rechten Seite von ( 4 ) heißt übrigens ganz allgemein Schatten von M .
Konvergenz andererseits wird beschrieben durch das ===> Robinsonlemma . Zunächst mal fogt rein formal durch Transfer, dass der Grenzwert G einer Standardfolge A < n > selbst Standard ist; Robinson sagt aus
" A < n > konvergiert gegen G genau dann, wenn für alle Nonstandard n
( A_n ) * = G ( 5 )
Sei also A < n > eine gegen G konvergente Folge; wir müssen zeigen: G ist Häufungspunkt von A < n > . Hier nun ist folgendes Lemma der NSA von aller größter Bedeutung:
Y0 = F ( X0 ) ist Standard ( 6 )
Damit sind also sämtliche Folgenglieder A_N Standard. Wir haben ein Zweiklassenregime; denn für die Nonstandard n gilt ja Onkel Robinson.
Damit folgt also ( 3a ) bereits aus Robinson. Aber wie zeigen wir ( 3b ) ?
Wir sagten oben, wir wollen uns auf den Fall beschränken, dass die Bildmenge unserer Folge aus unendlich vielen Punkten besteht; mit das erste Teorem, das man lernt
" Jede unendliche Menge enthält ein Nonstandard Element. "
Da ja alle A_N Standard sind, wie wir gesehen haben, muss jenes Nonstandard A_n auch ein Folgenglied mit Nonstandard Nummer n sein. D.h. es ist nicht identisch mit G, und das war unsere Forderung in ( 3b )
" =====> "
Sei also A < n > eine Folge mit Häufungspunkt H ; wie konstruiere ich die geforderte Teilfolge? Da treiben wir jetzt genau so Akrobatik mit Transfer, wie du das im Robert an Hand Zahl reicher Beispiele findest. Zunächst mal schätzen wir den inf Abstand des Folgengliedes ab durch ein Nonstandard n0.
(E) n0 | € = D ( A_i ; H ) < 1 / n0 ( 7a )
(E) i (V) N0 | D ( A_i ; H ) < 1 / N0 ( 7b )
Ist in ( 7b ) Transfer von N0 nach n0 erlaubt? Sicher nicht; der zusätzliche freie Parameter ( ZFP ) ist Nonstandard i . Es ergäbe sich die höchst unsinnige Aussage, dass " Infimum des Abstandes zwischen A_i und H gleich Null ... "
Wir können das nur reparieren, wenn wir beachten, dass sich der Transfer um GEBUNDENE Parameter überhaupt nicht schert:
(V) N0 (E) i = i ( N0 ) | D ( A_i ; H ) < 1 / N0 ( 7c )
Hier nun hängt i von N0 ab; statt i könntest du genau so gut j sagen. Gebundene Parameter sind keine Namen von Individuen. Wenn wir Transfer auf ( 7c ) anwenden, kommt heraus, dass es zu jedem n0 ein geeignetes Folgenglied Numero i ( n0 ) gibt, das näher an H liegt als 1 / n0 .
Etwas salopp ließe sich in ( 7 ) formulieren, diese Funktion i = i ( N0 ) " ist konstant für alle Standard N0 "
Ein letzter Transfer, den wir formal noch beachten müssen, bevor das Robinsonlemma anwendbar wird: Wir müssen eine Standard-auswahl I ( n ) treffen, damit unsere Teilfolge A_I ( n ) auch wieder Standard wird.
