(an) besitzt eine konvergente Teilfolge oder eine Teilfolge. Beweise.

Question

Ich hab ab und zu Probleme bei meinen Übungen für Mathe und fand dieses „Forum“ ganz gut um sich ein bisschen Hilfe zu holen.

Aufgabe:

Beweisen Sie: Jede Folge (a_n)n∈N reeller Zahlen besitzt entweder eine konvergente Teilfolge oder eine Teilfolge, die bestimmt gegen +∞ bzw. −∞ divergiert.

Bräuchte hier eure Hilfe.

Grüße

Comments

Wenn Du mal annimmst, dass die Folge beschränkt ist: Kennst Du dann einen Satz, der Dir die Aufgabenstellung erledigt?

Answer 1

Jede Folge (an)n∈N reeller Zahlen besitzt entweder eine konvergente Teilfolge oder eine Teilfolge, die bestimmt gegen +∞ bzw. −∞ divergiert.

Das ist nicht richtig. Die Folge \((((-1)^n+1)\cdot n)_{n\in \mathbb{N}}\) besitzt sowohl eine konvergente Teilfolge, als auch eine Teilfolge, die bestimmt gegen +∞ divergiert.

Comments

Ich weiß zwar, dass in der Aufgabenstellung "entweder... oder" steht, aber ich denke nicht, dass damit eine Alternative, sondern eine Disjunktion gemeint ist. Denn die Übungsaufgabe soll (bei mir) 5 Punkte geben, was mir recht viel erscheint für eine Aussage, die man so leicht widerlegen kann...

Könnte aber auch sein, dass der obige Widerspruch korrekt ist, und ich mir nur zu viele Gedanken mache...

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Auf jede Folge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) trifft mindestens eine der folgenden Aussagen zu:

1. Zu jedem \(N\in \mathbb{N}\) gibt es ein \(n\in \mathbb{N}\) mit \(a_n > N\).
2. Zu jedem \(N\in \mathbb{N}\) gibt es ein \(n\in \mathbb{N}\) mit \(a_n < -N\).
   
3. Es gibt ein \(N\in \mathbb{N}\) so dass \(|a_n| \leq N\) für alle \(n\in \mathbb{N}\) ist.

Eine Teilfolge bekommt man mittels \((a_{n_i})_{i\in \mathbb{N}}\) wobei \((n_i)_{i\in \mathbb{N}}\) eine streng monotone Folge von natürlichen Zahlen ist.

Falls 1. zutrifft, dann kann man eine gegen \(\infty\) divergierende Teilfolge konstruieren indem man \(n_{i+1}\) so wählt, dass \(a_{n_{i+1}}\) um mindestens \(1\) größer als das Maximum von \(\{a_{n_j}| j \leq i\}\) ist.

Falls 3. zutrifft, dann kann man wie folgt eine konvergente Teilfolge \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) konstruieren.

1. Setze \(b_0 = a_0\), \(M_0 = N\), \(m_0 = -N\), \(n_0 = 0\), \(i = 0\).
   
2. Wenn es unendlich viele \(n > n_i\) gibt, so dass \(a_n\in [b_i,M_i]\) ist, dann wähle \(n_{i+1}\) als das kleinste dieser \(n\). Setze dann auch \(b_{i+1} = a_{n_{i+1}}\), \(M_{i+1} = M_i\), \(m_{i+1} = b_i\).
3. Ansonsten sei \(n_{i+1}\) die kleinste natürliche Zahl für die \(n_{i+1}>n_i\) und \(a_{n_{i+1}} \in [m_i,b_i]\) ist. Setze dann auch \(b_{i+1} = a_{n_{i+1}}\), \(M_{i+1} = b_i\), \(m_{i+1} = m_i\).
4. Erhöhe \(i\) um eins.
5. Gehe zurück zu 2.
   

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2. und 3. müssen noch so repariert werden, dass die Intervallbreiten gegen 0 konvergieren.

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okay. Vorab erstmal danke für die Hilfe, du rettest mir meine Abgabe.

Das obere, aus dem ersten Kommentar hab ich mehr oder weniger verstanden: man macht eine Fallunterscheidung, je nachdem, was für ein a_n man hat, nutzt man dann Fall 1, Fall 2 (äquivalent zu fall 1, nur gegen -∞) oder Fall 3. In Fall 3 baue ich mir quasi rekursiv eine konvergente Teilfolge, die gegen 0 konvergieren soll. Soweit so klar...

Aber wie genau müssen 2. und 3. jetzt verändert werden? Ich meine, in 4. erhöht man doch extra i, und somit auch [m_i, b_i]...

entschuldige die viele Fragerei, ich versuch nur, das ganze einigermaßen zu verstehen, bevor ichs abschreib...