Was wächst schneller n^n oder n! (Fakultät)?

Question

Was wächst schneller \( n^n \) oder \( n! \)?

Kann etwas noch schneller wachsen als \( n!^{n!} \)?

Und ergibt \( e!^{n} \) einen Sinn? Bzw. \( π! \)?

Comments

n^n wächst schneller als n!.

Es gibt nach oben keine Grenzen. Man kann alle möglichen Potenzen von Potenzen von Potenzen ....bilden.

e! gibt es auch . Dazu benötigt man die Gammafunktion.

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Was ist den eine gamma funktion?

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Die Eulersche Gammafunktion, auch kurz Gammafunktion oder Eulersches Integral zweiter Gattung, ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen und wird in den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Funktionentheorie untersucht. Sie wird heute durch ein \Gamma, den griechischen Großbuchstaben Gamma bezeichnet und ist eine transzendente meromorphe Funktion mit der Eigenschaft

    \Gamma(n+1) = n!

für jede natürliche Zahl n, wobei mit ! die Fakultät bezeichnet wird. Die Motivation zur Definition der Gammafunktion war es, die Fakultätsfunktion auf reelle und komplexe Argumente zu erweitern. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler löste im Jahr 1729 diese Fragestellung und definierte die Gammafunktion mittels eines unendlichen Produktes. Heute wird die Gammafunktion oft mittels einer Integraldarstellung definiert, die ebenfalls auf Euler zurückgeht.

https://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion

Answer 1

n^n besteht aus n Faktoren die alle n sind.

n! besteht aus n Faktoren, die allerdings von 1 bis n ansteigen.

Damit wächst n^n deutlich schneller

Aber nimm mal n!! - Da will ich jetzt lieber nicht wissen wie schnell das wächst.

Mein CAS kann

pi! = 7.188082726 ausrechnen. Scheint da also etwas zu geben. Wenn man sucht findet man

https://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion

Comments

N!! Geht also such^^ Ist das so so zu verstehen n! ×n!? Danke Ich werde mich da rein lesen muessen^^ Wegen gammafunktion.

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n!! würen für 3

3!! = (3!)! = 6! = 720

Ganz kurios wird das wenn wir nicht 2 Ausrufezeichen haben sondern auch noch n. Das schreibt man dann

n!⁽ⁿ⁾

Achtung: Das ist nicht das gleiche wie (n!)^n

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Ziemlich krasse angelegenheit^^ N !^2 ergibt das einen sinn oder n !^!. Ich dachte bisher e^x bzw. exponentieles wäre "mächtigste". Wie wüerde aber das mit dem fakultät jetzt bezeichnen als wachstum meine^^ Danke

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n!^{n}

Achtung: Das ist nicht das gleiche wie (n!)n

Wo soll da ein Unterschied sein?

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Wahrscheinlich so.n!^n sei n =3. 3×2×1^3. Und (1^3×2^3×3^3). Glaube so.

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n!⁽ⁿ⁾

z.B.

3!⁽³⁾ = 3!!! = 6!! = 720! = 2.601218968·10^1746

ops ...

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Es müsste so sein:

n!^n = n! *n!*n!...*n! (also n-mal n!)

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Wie ich bereits gesagt hatte ist das nicht das Gleiche

n!⁽ⁿ⁾ ≠ (n!)ⁿ

Die Feinheiten liegen in der Notation. Beim ersten meint man da stehen n Ausrufezeichen hinter dem n.

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Danke Mathecoach. Hätte nicht gedacht, dass das Fakultätszeichen auf diese Weise ver-n-facht werden kann. Ich dachte, das Zeichen sei automatisch an das n gebunden. Man lernt nie aus !

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Danke mathecoatch ebenfalls. Das hab ich auch nicht gewusst.

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Ich glaube ich muss mich korrigieren :(

mein CAS verarbeitet das 3!!! zu ((3!)!)! aber es scheint da wohl eine andere Interpretation zu geben laut Wolframalpha.

Also vergessen wir das lieber mal ...

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Für die Nachwelt: x!! beschreibt im Allgemeinen die Doppelfakultät, welche so definiert ist, dass nur jedes zweite Glied seinen Wert beiträgt. So wäre zum Beispiel 6!! = 6 * 4 * 2 = 48.

Allgemein gilt: x!! = x * (x-2) * (x-4) * ...

Gleiches gilt für höhere Fakultäten: 5!!! = 5 * (5-3)

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Danke für die Ergänzung:

https://de.wikipedia.org/wiki/Fakultät_(Mathematik)#Doppelfakultät

https://en.wikipedia.org/wiki/Factorial#Double_factorial

Auf den ersten Blick sieht es so aus, als wäre das auf Englisch nur für ungerade Argumente definiert, aber anscheinend doch für alle natürlichen Zahlen. Vgl.

https://en.wikipedia.org/wiki/Double_factorial

Wolframalpha macht mit bei Doppelfakultät: https://www.wolframalpha.com/input/?i=5!! 

Dagegen wird bei drei ! eine Klammer ergänzt. Scheint also nicht ganz so übliche Definition zu sein.