Eulersche Zahl durch Summe approximieren

Question

Aufgabe:

Die Eulersche Zahl \( e \) lässt sich sowohl durch \( a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \) als auch durch \( s_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !} \) approximieren.

(a) Geben Sie ein \( N \in \mathbb{N} \) an, so dass \( e \) durch \( s_{N} \) bis auf (mindestens) 6 Stellen hinter dem Komma genau bestimmt ist.

(b) Berechnen Sie zum Vergleich \( a_{N} \).

(c) Welche Approximation konvergiert,schneller" gegen \( e \) ?

Ansatz:

Ich hatte die Idee das Newotonsche Näherungsverfahren anzuwenden doch schon bei der Ableitung bleibe ich einfach stecken, da der Term immer größer wird.

Comments

Hi,

ich bin noch in der 10.Klasse Realschule, deshal Angaben ohne Gewähr!

s_n=∑ (k=0 bis 10)  1/k! = 2.718281801

und die Zahl von e lautet: 2.718281828

also war das schon ganz nah:)

und so würde ich das auch mit a_n machen :)

 

falls es das ist was Du meinst :)

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Emre. Du hast dich doch gerade mit Taylorpolynomen beschäftigt. Gesucht ist das Taylorpolynom von e^x sowie seine Summendarstellen für die Stelle x0 = 0.

Dir sollte an der Summendarstellung etwas auffallen, wenn du dir die obige Aufgabe anschaust.

Wenn wir e = e^1 berechnen wollen, können wir das also über unser Taylorpolynom machen. Wie wird das aussehen. Und wie sieht die Summendarstellung dann aus.

Nun gibt es bei Taylorpolynomen ja auch ein Restglied. Das heisst zum Taylorpolynom Tn n. Grades gehört auch ein Restterm Rn. Wie kann man Rn abschätzen. Und wie muss n gewählt werden sodass das Taylorpolynom auf 6. Stellen genau ist.

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Ich habs auch irgendwie gewusst dass meine Idee falsch war :)

Danke für die Erklärung Mathecoach:)

Leider verstehe ich das mit dem Restglied nicht :(

Naja Morgen hab ich dieses Buch auf Deutsch Calculus Einführung in die Differential und Integralrechnung. Ich denke da wird das auch erklärt :)

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Nein. Dein Ansatz war doch total richtig. Und im Zweifel kann man auch einfach die Differenz von der Näherung und e nehmen und schauen wann e dann auf 6 Ziffern angegeben ist. Ich denke aber das ist hier eventuell über eine Restglied Abschätzung zu machen. Aber ich kann mich auch irren. Gerade weil ja nur ein paar n zu testen wären.

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Ahh cool ja jetzt bin ich froh:)

ja das mit dem Restglied kann ich noch nicht wie gesagt:)

Ahsoo ja:)

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ja
als tipp meine meine lêhrin auch iwas mit restglied... aber ich hab das verfahren nicht verstanden. könntest du mir weiter helfen?

Answer 1

mit dem Ansatz von Emre/Mathecoach erhält man für

a) n > 9

b) Hier brauchts ein n > 1023224

c) Das erübrigt sich wohl^^.

Grüße